Función de Minkowski

La función de "signo de interrogación" de Minkowski es una función monotónica singular construida por Hermann Minkowski en el intervalo , que tiene una serie de propiedades notables. Entonces, convierte irracionalidades cuadráticas (es decir, números de la forma donde y racional) en un segmento en números racionales en el mismo segmento, y números racionales en racionales diádicos , uno a uno y conservando el orden . Está relacionado con la serie de Farey , las fracciones continuas y las transformaciones fraccionarias lineales , y su gráfico tiene varias simetrías interesantes. $?(X)$ $[0, 1]$ $a+{\sqrt {b)),$ $a$ $b$ $[0, 1]$

Construcción

La función de Minkowski se puede especificar de varias formas equivalentes: a través de series de Farey, a través de fracciones continuas y graficando usando iteraciones sucesivas.

Búsqueda con la ayuda del árbol Stern - Brokaw

En los extremos del segmento, la función de Minkowski se da como y . Después de eso, para cualesquiera dos números racionales y , para los cuales - en otras palabras, para cualesquiera dos consecutivos en cualquiera de las series de Farey - la función en su mediana se define como la media aritmética de los valores en estos puntos: ${\ estilo de visualización? (0) = 0}$ ${\ estilo de visualización? (1) = 1}$ ${\frac{a}{b}}$ ${\frac{c}{d))$ $ad-bc=1$ ${\frac{a+c}{b+d))$

?\left({\frac {a+c}{b+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left[?\left({\frac {a}{b }}\derecha)+{}?\izquierda({\frac {c}{d}}\derecha)\derecha].

Asi que

?\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1)}{2}}={\frac {1}{2 }},

?\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1/2)}{2}}={\frac {1} {cuatro}},

?\left({\frac {2}{3}}\right)={\frac {?(1/2)+{}?(1)}{2}}={\frac {3} {cuatro}}

y así.

Dado que las secuencias

{\frac{0}{1)),{\frac{1}{1)),

{\frac {0}{1)),{\frac {1}{2)),{\frac {1}{1)),

{\frac {0}{1)),{\frac {1}{3)),{\frac {1}{2)),{\frac {2}{3)),{\frac {1}{1}},

en el que el siguiente se obtiene del anterior sumando sus mediantes entre cada uno de sus elementos vecinos, enumerar en la unión todos los números racionales del segmento (ver el árbol de Stern-Broko ), tal procedimiento iterativo establece la función de Minkowski en todos los puntos racionales . Además, como es fácil de ver, el conjunto de sus valores en estos puntos es exactamente todos los números racionales diádicos , en otras palabras, un conjunto denso. Por lo tanto, la monotonicidad de la función construida se extiende únicamente a una función continua , y esta es la función de Minkowski. $[0, 1]$ $[0, 1]$ $[0, 1]$ $[0, 1]$ ${\ estilo de visualización? \ dos puntos [0,1] \ a [0,1]}$

Desafío con fracción continua

La función de Minkowski, en cierto sentido, convierte una expansión de fracción continua en una representación binaria. Es decir, el punto que se expande en una fracción continua como , la función de Minkowski se traduce en ${\ estilo de visualización x \ en [0,1]}$ $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots]$

?(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+\ldots +a_{ k}-1}}}.

En otras palabras, el punto

x={\frac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\ldots ))))))

va al grano

?(x)=0{,}\soporte {0\ldots 0} _{a_{1}-1}\soporte {1\ldots 1} _{a_{2))\soporte {0\ldots 0} _ {a_ {3}} \ underbrace {1 \ ldots 1} _ {a_ {4}} \ ldots _ {(2)}.

Auto-similitud

Sea el punto dado por una fracción continua . Entonces el aumento en uno, es decir, la transición a está dada por el mapeo ${\ estilo de visualización x \ en [0,1]}$ $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots]$ $un_{1}$ $y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots]$

f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x))))={\frac {x}{1+x)),

y la función de Minkowski después de tal transformación se divide (como se deduce de su asignación a través de la fracción continua del argumento) por la mitad:

?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)

Por otro lado, es fácil ver por la simetría con respecto a la construcción mediante que $1/2$

{\ estilo de visualización? (1-x) = 1-{}? (x). \ qquad (2)}

Conjugando (1) con la ayuda de (2), vemos que bajo la acción del mapeo , la función de Minkowski se transforma como $g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}$

?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+{}?(x)}{2}}.

Por tanto, la gráfica de la función de Minkowski se traslada a sí misma por cada una de las transformaciones

F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x)),{\frac {t}{2}}\right),\quad G(x,t)=\ izquierda({\frac {1}{2-x)),{\frac {1+t}{2}}\derecha).\qquad (3)

Además, la unión de sus imágenes es exactamente el grafo original completo, ya que la imagen es parte del grafo sobre el segmento , y la imagen es el grafo sobre el segmento . $F$ ${\ estilo de visualización [0,1/2]}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización [1/2,1]}$

Trazar un gráfico como un fractal

La gráfica de la función de Minkowski se puede construir como un conjunto límite para un sistema de funciones iteradas . Es decir, las asignaciones y dadas por las fórmulas (3) conservan el gráfico de la función de Minkowski y transforman el cuadrado de la unidad en sí mismo. Por lo tanto, la secuencia de conjuntos definida recursivamente por las relaciones $F$ $GRAMO$ $X_n$

X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),

es una sucesión de conjuntos decrecientes con respecto a la incrustación, y la gráfica de la función de Minkowski está contenida en cualquiera de ellos. $\Gamma ={\big \{}{\big (}x,?(x){\big )}\mid x\in [0,1]{\big \))$

Es fácil ver cuál es la unión de los rectángulos de altura , por lo que el límite establecido $X_n$ $1/2^{n}$

X_{\infty}=\bigcap _{n}X_{n}

es la gráfica de alguna función. Porque son iguales. Por tanto, la gráfica de la función de Minkowski es el conjunto límite del sistema de funciones iteradas ${\displaystyle \Gamma \subset X_{\infty))$

F,G:[0,1]^{2}\a [0,1]^{2}.

Propiedades

La función de Minkowski es singular, es decir, en casi cualquier punto (en medida de Lebesgue ) , su derivada existe y es igual a cero. Así, la medida sobre cuya función de distribución se encuentra la función de Minkowski (extendida por cero a números negativos y por uno a unidades grandes) es singular . ${\ estilo de visualización x \ en [0,1]}$ $[0, 1]$
La función de Minkowski uno a uno convierte números racionales en un segmento en números racionales diádicos en el mismo segmento. $[0, 1]$
La función de Minkowski uno a uno asigna irracionalidades cuadráticas en un segmento a números racionales en el mismo segmento. De hecho, un número es una irracionalidad cuadrática si y sólo si su expansión en una fracción continua, a partir de algún momento, es periódica; por otro lado, esta periodicidad es equivalente a la periodicidad de la notación binaria de la imagen, es decir, la racionalidad . $[0, 1]$ $X$ $?(X)$
La gráfica de la función de Minkowski se traduce en sí misma por las aplicaciones y está dada por (3) y, en consecuencia, por sus composiciones. $F$ $GRAMO$

Literatura

Minkowski H. Verhandlungen des III. Internationalen Mathematiker Congresos en Heidelberg. — Berlín, 1904.
Denjoy A. Sur une fonction reelle de Minkowski. — Journal de Mathematiques Pures et Appliques. - 1938. - 17. - págs. 105-151.
Conley, RM (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function , tesis de maestría, Universidad de West Virginia , ref .
Conway, JH (2000), Fracciones retorcidas, Sobre números y juegos (2.ª ed.), Wellesley, MA: AK Peters, pág. 82-86 .
Kirillov A. A. Historia de dos fractales. — M.: MTsNMO, 2009.

Véase también

escalera de cantor

Enlaces

Weisstein, función de signo de interrogación de Eric W. Minkowski (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .