Analogía óptico-mecánica

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La analogía óptico-mecánica es la analogía entre las descripciones del movimiento de partículas materiales en un campo potencial estacionario en la mecánica clásica y la propagación del movimiento de los rayos de luz en un medio isotrópico ópticamente no homogéneo. Fue establecido por Hamilton en 1834. En 1926, de Broglie y Schrödinger lo utilizaron en la creación de la mecánica cuántica para describir la presencia de propiedades corpusculares y ondulatorias en objetos materiales al mismo tiempo.

Redacción

Considere una partícula libre que se mueve en un campo potencial estacionario . Su función de acción se puede representar como , donde la acción "acortada" satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi [1] . $tu(r)$ $S({\vec {r)),t)=-Et+S_{0}({\vec {r)))$ $S_{0}({\vec{r)))$ $(\nabla S_{0})^{2}=2m\left[UE({\vec {r)))\right]$

Esta ecuación coincide en forma con la ecuación eikonal conocida en óptica geométrica : $(\nabla L)^{2}=n^{2}({\vec {r)))$ $L$ ${\ estilo de visualización n ({\ vec {r)))}$

La trayectoria de una partícula clásica coincide con la curva descrita al desplazar la superficie de igual acción, uno de sus puntos. Del mismo modo, un haz de luz es una curva, que describe cuando se mueve en el espacio, algún punto en la superficie de la fase constante de una onda electromagnética [2] .

Considere el lugar geométrico de los puntos en el espacio donde la acción de una partícula clásica tiene algún valor constante . Derivando esta igualdad con respecto al tiempo, se obtiene: de donde, teniendo en cuenta que y , se sigue [1] . $S(r,t)=-Et+S_{0}(r)=const$ $-E+\nabla S_{0}{\frac {dr}{dl}}{\frac {dl}{dt}}=0$ ${\frac {dr}{dl}}={\frac {\nabla S_{0}}{\left|\nabla S_{0}\right|}}$ ${\ estilo de visualización \ nabla S_ {0} = p}$ $u={\frac {E}{\left|\nabla S_{0}\right|}}={\frac {E}{p}}={\frac {E}{mv}}$

De manera similar, en óptica, las superficies de igual fase se describen mediante la ecuación . Derivándolo con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad de propagación del frente de ondas electromagnéticas: [3] . $k_{0}L({\vec {r)))-\omega t=const$ ${\frac {dl}{dt))={\frac {\omega}{k_{0}\left|\nabla L\right|))={\frac {\omega}{k))$

Comparando las fórmulas que describen la propagación de las partículas clásicas y la propagación de los rayos de luz, es fácil establecer una analogía entre ellas [4] :

Valor	mecanica clasica	Óptica
Acción	${\ estilo de visualización S ({\ vec {r)), t)}$	$k_{0}L({\vec {r)))-\omega t$
"Acción corta	$S_{0}({\vec{r)))$	$k_{0}L({\vec{r)))$
Energía	$mi$	$\omega$
Legumbres	${\ vec {p}}$	$\vec{k}$
-	$2m\left[UE({\vec {r)))\right]$	$n^{2}({\vec{r)))$

Para que la correspondencia entre las magnitudes de la mecánica clásica y la óptica sea completa, es necesario multiplicar las magnitudes de la óptica por un factor con la dimensión de la acción. En mecánica cuántica , se postula que tal cantidad es la constante de Planck .

Véase también

constante de Planck

Notas

↑ 1 2 Zhirnov, 1980 , pág. 209.
↑ 1 2 Zhirnov, 1980 , pág. 210.
↑ Zhirnov, 1980 , pág. 211.
↑ Zhirnov, 1980 , pág. 212.

Literatura

Zhirnov N. I. Mecánica clásica. - M. : Educación, 1980. - 303 p.