Hamilton, Guillermo Rowan

William serbal hamilton
inglés  William serbal hamilton

William serbal hamilton
Fecha de nacimiento 4 de agosto de 1805( 04-08-1805 ) [1] [2] [3] […]
Lugar de nacimiento Dublín , Irlanda
Fecha de muerte 2 de septiembre de 1865( 02-09-1865 ) [1] [2] [3] […] (60 años)
Un lugar de muerte Dublín , Irlanda
País
Esfera científica matemáticas , mecánica , física
Lugar de trabajo
alma mater Universidad de Dublín
Titulo academico Licenciatura en Artes [4] ( 1827 ) y Maestría en Artes [4] ( 1837 )
Premios y premios Medalla Real (1835)
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Sir William Rowan Hamilton ( 4 de  agosto de 1805 - 2 de  septiembre de 1865 ) fue un matemático irlandés , mecánico teórico , físico teórico , "uno de los mejores matemáticos del siglo XIX" [5] . Conocido por descubrimientos fundamentales en matemáticas ( cuaterniones , fundamentos del análisis vectorial , cálculo de variaciones , justificación de números complejos ), mecánica analítica ( mecánica hamiltoniana ) y óptica [6] [7] . El autor del principio variacional extremadamente general de acción mínima , utilizado en muchas ramas de la física.

Astrónomo Real de Irlanda (1827-1865) [8] . Miembro de la Royal Irish Academy (1837; en 1837-1845 - su presidente). Miembro correspondiente de muchas academias de ciencias y sociedades científicas, incluida la Academia de Ciencias de Rusia (1837), el primer miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias de EE . UU. (1864) [6] [9] . El académico A. N. Krylov escribió que Hamilton fue “uno de los más grandes matemáticos, distinguido por la multitud de sus obras, la importancia de los descubrimientos contenidos en ellas, la profundidad del pensamiento, la originalidad de los métodos y, al mismo tiempo, como un calculador que tenía pocos iguales” [10] .

Biografía

Infancia y juventud

Hamilton fue el cuarto de nueve hijos en la familia de la irlandesa Sarah Hutton ( ing.  Sarah Hutton , 1780-1817) [11] y mitad irlandesa, mitad escocesa Archibald Hamilton ( ing.  Archibald Hamilton , 1778-1819). Archibald, originario de la ciudad de Dunboyne , trabajaba como abogado en Dublín. Debido a las dificultades económicas y la mala salud de sus padres, se decidió desde el año de edad trasladar al niño para que lo criara su tío paterno. El tío, James Hamilton, un hombre bien educado, sirvió como vicario y maestro en la ciudad de Trim ; trató a su sobrino con simpatía y ayudó a su desarrollo de todas las formas posibles [12] . Pronto, William finalmente se quedó sin padres: su madre murió cuando el niño tenía 12 años, su padre la sobrevivió dos años. Hamilton luego se hizo cargo del cuidado de sus tres hermanas huérfanas.

Ya en la infancia, el niño mostró talentos extraordinarios. A la edad de 3 años, leyó libremente y comenzó a dominar la aritmética. A la edad de 7 años sabía latín, griego y hebreo . A los 12 años, bajo la guía del tío James, un buen lingüista, ya conocía 12 idiomas, incluidos el persa , el árabe y el sánscrito [13] . A la edad de 13 años, escribió una guía de gramática siríaca. Hamilton valoró mucho la literatura y la poesía toda su vida y de vez en cuando él mismo trató de escribir poesía. Entre sus conocidos literarios se encontraba el famoso poeta romántico William Wordsworth , la amistad entre ellos se prolongó hasta el final de la vida de Wordsworth, así como Samuel Coleridge , con quien Hamilton inició una animada correspondencia [14] .

Después de los idiomas, llegó el momento de entusiasmarse con las matemáticas. Incluso a la edad de diez años, Hamilton se encontró con una traducción latina de los Principios de Euclides , y estudió este trabajo en detalle; a los 13 leyó la Aritmética Universal de Newton ; a la edad de 16 años, la mayoría de los " Principios matemáticos de la filosofía natural " de Newton (al mismo tiempo, Hamilton, según los trabajos de Clairaut y Laplace  , también estudió matemáticas continentales, que todavía eran noticia en el Reino Unido) [8] . A la edad de 17 años, William comenzó a estudiar la Mecánica Celestial de Laplace; en este tratado descubrió un error lógico y se lo informó al Astrónomo Real de Irlanda, John Brinkley . Apreció las habilidades del joven y comenzó a ayudar en su desarrollo científico. Había muy pocos científicos destacados en Irlanda, y de hecho Hamilton estudió matemáticas y física de forma autodidacta, en casos difíciles, recurriendo a la ayuda de Brinkley. La escritora irlandesa Maria Edgeworth , cuya familia se hizo amiga de William, lo llamó "una maravilla de talento que, según el profesor Brinkley, podría ser un segundo Newton" [15] .

En 1815-1823, William fue a la escuela, luego el niño de 18 años ingresó al Trinity College, Universidad de Dublín . Allí mostró habilidades tan brillantes (las primeras en todas las materias) que en 1827, cuando aún era un estudiante de 22 años, por recomendación del renunciado Brinkley, fue nombrado en su lugar - profesor de astronomía en la Universidad de Dublín. y Astrónomo Real de Irlanda . En la universidad, un antiguo alumno de Hamilton, que nunca defendió su tesis, impartió un curso de mecánica celeste [16] .

Astrónomo Real

En 1827, Hamilton asumió el cargo de Astrónomo Real de Irlanda (que automáticamente significaba director del Observatorio de Dunsink ) durante 38 años, más tiempo que nadie en ese puesto. Publicó una serie de artículos sobre óptica geométrica, que son de gran valor para la teoría de los instrumentos ópticos, pero hizo poco sobre problemas puramente astronómicos; Comisiones de Londres lo criticaron dos veces por falta de diligencia [16] .

En 1833, Hamilton se casó con Helen Bailey ( Helen Maria Bayley ). Tuvieron dos hijos y una hija. El matrimonio no tuvo mucho éxito, y Hamilton comenzó a abusar del alcohol [12] .

En el período 1834-1835 aparecieron obras clásicas sobre la " mecánica hamiltoniana ". El matemático escocés Peter Tath llamó a estos trabajos "la mayor adición a la dinámica teórica desde las grandes épocas de Newton y Lagrange ". Por los descubrimientos en óptica y por la totalidad de los méritos científicos, el virrey de Irlanda elevó a Hamilton a la categoría de caballero (1835) [17] y le asignó una asignación anual de 200 libras, y la Royal Society de Londres le otorgó (junto a Faraday ) el Medalla Real .

Sin embargo, todavía había una serie de descubrimientos importantes por delante. En el mismo 1835, Hamilton completó el desarrollo de un nuevo enfoque extremadamente general para resolver problemas de dinámica en forma de un principio variacional ( principio de Hamilton ). Casi un siglo después, fue este enfoque el que resultó ser la clave para la creación de la mecánica cuántica , y el principio de variación descubierto por Hamilton se utilizó con éxito en el desarrollo de las ecuaciones de campo de la relatividad general .

En 1837, Hamilton fue elegido presidente de la Royal Irish Academy [6] . En el mismo año, a propuesta de los académicos V. Ya. Bunyakovsky , M. V. Ostrogradsky y P. N. Fuss , fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de San Petersburgo por su trabajo “Sobre un método general en dinámica” [18] .

1843 fue un punto de inflexión en la vida de Hamilton. Este año descubrió el sistema algebraico de los cuaterniones  -una generalización del sistema de los números complejos-  y dedicó las dos décadas restantes de su vida a su estudio [19] . En Gran Bretaña, la teoría de los cuaterniones fue recibida con un entusiasmo inusual y "profundo respeto, llegando a asombrarse" [20] ; en Irlanda (y luego en Inglaterra) se convirtió en un elemento obligatorio de la educación [21] .

En 1846, hubo un desagradable escándalo en una cena de la Asociación Geológica, donde Hamilton apareció en un estado de embriaguez extremadamente alto: como resultado, renunció al cargo de presidente de la Academia Irlandesa [22] . Un año después, murió el tío James, quien reemplazó al padre de William.

En la primavera de 1865, la salud de Hamilton comenzó a deteriorarse rápidamente. Consiguió completar sus muchos años de trabajo, la monografía "Elements of Quaternions", pocos días antes de su muerte. Hamilton murió el 2 de septiembre a la edad de 60 años [22] . Enterrado en el cementerio y crematorio Mount Jerome de Dublín .

Contribuciones científicas

En todas sus obras principales, Hamilton buscó plantear y resolver el problema de la manera más general y universal, profundizar en los métodos que descubrió y delinear claramente las áreas de su aplicación práctica [23] .

Matemáticas

Teoría de números complejos

En 1835, Hamilton publicó The Theory of Algebraic Couples , en la que dio una construcción rigurosa de la teoría de los números complejos . Si Euler consideraba el número complejo como una suma formal , y Wessel y Gauss llegaron a una interpretación geométrica de los números complejos, interpretándolos como puntos del plano de coordenadas (además, este último en 1831 en su obra The Theory of Bisquare Residues también proponía una construcción completamente rigurosa del álgebra de los números complejos), entonces Hamilton (probablemente no familiarizado con el trabajo de Gauss) vio el número complejo como un par de números reales. Ahora los tres enfoques son igualmente comunes; al mismo tiempo, con la aparición de los trabajos de Gauss y Hamilton, se eliminó la cuestión de la consistencia de la teoría de los números complejos (más precisamente, se redujo a la cuestión de la consistencia de la teoría de los números reales ) [ 24] [25] .

La interpretación geométrica de los números complejos abrió la posibilidad de su fructífera aplicación en la planimetría y en la resolución de problemas bidimensionales de la física matemática . Intentando lograr un resultado similar en el caso espacial [10] , Hamilton trabajó durante varios años para generalizar el concepto de número complejo y crear un sistema completo de "números" a partir de ternas de números reales (la suma tenía que ser componente por- componente, como para los números complejos; el problema era la definición adecuada de la multiplicación). Al no tener éxito en esto, recurrió a los cuadruplicados de los números reales. La idea le llegó uno de los días de octubre de 1843, mientras caminaba por el puente de Dublín; así aparecieron los cuaterniones [24] [26] .

Teoría del cuaternión Creación de la teoría de los cuaterniones

Para los "números de cuatro términos" descubiertos por él, Hamilton introdujo el nombre de cuaterniones  , del lat.  quaterni 'por cuatro' [27] . Junto con la representación de los cuaterniones por cuádruples de números reales, por analogía con los números complejos, también escribió los cuaterniones [28] como sumas formales de la forma

donde  son tres unidades de cuaternión (análogos de la unidad imaginaria ) [29] [30] . Suponiendo que la multiplicación de cuaterniones es distributiva con respecto a la suma, Hamilton redujo la definición de la operación de multiplicación de cuaterniones a especificar una tabla de multiplicar para unidades básicas de la forma [28] :

Se puede ver en la tabla que la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa (por lo tanto, el sistema algebraico de cuaterniones es un anillo de división , pero no un cuerpo ). En 1878, G. Frobenius explicó la razón del fracaso de Hamilton con los triples de los números reales demostrando la siguiente afirmación ( teorema de Frobenius ): sobre el campo de los números reales, solo hay tres álgebras de división asociativa de dimensión finita : en sí misma , el campo de números complejos y el campo sesgado de cuaterniones [31] .

Hamilton dedicó las siguientes dos décadas a un estudio detallado de nuevos números y aplicaciones prácticas [32] , escribiendo 109 artículos sobre este tema y dos voluminosas monografías "Lectures on Quaternions" y "Elements of Quaternions". Consideró el lado derecho de la fórmula como la suma de dos términos: la parte escalar (el número ) y la parte vectorial (el resto de la suma) [28] ; posteriormente, algunos autores utilizaron las expresiones "parte real" y "parte imaginaria" respectivamente [30] . Así, las palabras vector (1847 [6] ) en relación a un cuaternión con parte escalar cero y escalar (1853 [28] ) en relación a un cuaternión con parte vectorial cero entraron a las matemáticas por primera vez . Como las partes vectorial y escalar del producto cuaternión de dos vectores, nacieron los productos vectorial y escalar [33] , respectivamente .

Aplicaciones de los cuaterniones

El mayor sucesor del trabajo de Hamilton y el divulgador de los cuaterniones fue su alumno, el matemático escocés Peter Tat , quien propuso muchas aplicaciones para ellos a la geometría, la trigonometría esférica y la física [10] . Una de las primeras aplicaciones de este tipo fue el estudio de las transformaciones espaciales. Los números complejos se utilizan con éxito para modelar movimientos arbitrarios en el plano: la suma de números corresponde a la transferencia de puntos del plano complejo y la multiplicación - rotación (con estiramiento simultáneo, si el módulo del factor es diferente de 1) [34] .

De manera similar, los cuaterniones son una herramienta conveniente para estudiar movimientos en el espacio euclidiano tridimensional (ver Cuaterniones y rotación del espacio ): tal uso de ellos se basa en la interpretación geométrico-numérica de los cuaterniones, en la que se comparan las unidades de cuaterniones (en terminología moderna ) con vectores de alguna base ortonormal derecha en el espacio tridimensional [35] . Luego se establece una correspondencia biunívoca entre rotaciones tridimensionales y automorfismos internos del cuerpo de cuaterniones [36] [37] ; cada automorfismo puede ser generado por un cuaternión con módulo igual a 1 ( el módulo de un cuaternión se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes [38] ), y este cuaternión, llamado cuaternión de rotación , es definido hasta firmar [30] . En este caso, la ejecución sucesiva de dos rotaciones corresponde a la multiplicación de los cuaterniones de rotación correspondientes. Este hecho, por cierto, ilustra una vez más la no conmutatividad de la multiplicación de cuaterniones, ya que el resultado de realizar dos rotaciones tridimensionales depende esencialmente del orden en que se realizan [34] .

En el curso de la investigación de los cuaterniones, Hamilton introdujo simultáneamente el concepto de campo vectorial (todavía no tiene el término " campo ", en su lugar utilizó el concepto de función vectorial de un punto) y sentó las bases del análisis vectorial . El simbolismo de Hamilton (en particular, el operador nabla introducido por él ) le permitió escribir de forma compacta los principales operadores diferenciales del análisis vectorial: gradiente , rotacional y divergencia [39] [40] . Basándose en el trabajo de Hamilton, Gibbs y Heaviside destacaron y desarrollaron un sistema de análisis vectorial, ya separado de la teoría de los cuaterniones; resultó ser extremadamente útil en matemáticas aplicadas y entró en los libros de texto [41] .

Maxwell conoció los cuaterniones gracias a Tait, su compañero de escuela, y los apreció mucho: “La invención del cálculo de cuaterniones es un paso adelante en el conocimiento de las cantidades asociadas al espacio, que en su importancia solo puede compararse con la invención de coordenadas espaciales por Descartes” [42] . En los primeros artículos de Maxwell sobre la teoría del campo electromagnético , el simbolismo de cuaterniones se usa para representar operadores diferenciales [43] , sin embargo, en sus últimos trabajos, Maxwell abandonó el simbolismo de cuaterniones en favor del análisis vectorial más conveniente y visual de Gibbs y Heaviside [44] .

El significado histórico de la teoría de los cuaterniones

En el siglo XX, se hicieron varios intentos de utilizar modelos de cuaterniones en la mecánica cuántica [45] y la teoría de la relatividad [10] . Los cuaterniones han encontrado una aplicación real en los gráficos informáticos modernos y la programación de juegos [46] , así como en la mecánica computacional [47] [48] , en la navegación inercial y la teoría del control [49] [50] . Desde 2003 se publica la revista Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics [51] .

Felix Klein expresó la opinión de que "los cuaterniones son buenos y aplicables en su lugar, pero aún no tienen el mismo significado que los números complejos ordinarios" [52] . En muchas aplicaciones, se han encontrado medios más generales y prácticos que los cuaterniones. Por ejemplo, hoy en día, para estudiar los movimientos en el espacio, el cálculo matricial se usa con mayor frecuencia [53] ; sin embargo, cuando es importante especificar una rotación tridimensional usando el número mínimo de parámetros escalares, el uso de los parámetros de Rodrigues-Hamilton (es decir, los cuatro componentes del cuaternión de rotación) suele ser preferible: tal descripción nunca degenera , y al describir rotaciones con tres parámetros (por ejemplo, ángulos de Euler ) siempre hay valores críticos de estos parámetros cuando la descripción degenera [47] [48] .

En cualquier caso, la contribución histórica de los cuaterniones al desarrollo de las matemáticas ha sido inestimable. Henri Poincaré escribió: “Su aparición dio un poderoso impulso al desarrollo del álgebra ; partiendo de ellos, la ciencia siguió el camino de generalizar el concepto de número, llegando a los conceptos de matriz y operador lineal que impregnan las matemáticas modernas. Fue una revolución en la aritmética, similar a la que hizo Lobachevsky en la geometría” [54] .

Geometría y otras áreas de las matemáticas

En 1861, en el campo de la planimetría, Hamilton demostró el teorema de Hamilton que lleva su nombre : tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo agudo lo dividen en tres triángulos de Hamilton que tienen el mismo círculo de Euler ( círculo de nueve puntos ) que el triángulo agudo inicial.

En 1856, Hamilton investigó el grupo de simetría del icosaedro y demostró que tiene tres generadores [55] . El estudio de otro poliedro , el dodecaedro , condujo posteriormente a la aparición en la teoría de grafos del útil concepto de "grafo hamiltoniano" [56] ; además, a Hamilton se le ocurrió un entretenido rompecabezas relacionado con eludir las aristas del dodecaedro, y lo puso a la venta (1859). Este juego, coloridomente diseñado como "Viaje alrededor del mundo", fue lanzado durante mucho tiempo en diferentes países de Europa [57] .

Desde el momento en que surgió la teoría de los cuaterniones, Hamilton tuvo constantemente en mente las aplicaciones del aparato de vectores que surgían en su marco a la geometría espacial . Al mismo tiempo, un segmento dirigido con un comienzo en un punto y un final en un punto fue interpretado por Hamilton precisamente como un vector y fue escrito (siguiendo a Möbius ) en la forma (es decir, como la diferencia entre el final y el comienzo). El término "vector" en sí mismo fue formado por él a partir del verbo latino vehere 'llevar, tirar' (que significa la transferencia de un punto en movimiento desde la posición inicial a la posición final ) [33] .

La geometría también le debe a Hamilton términos tales como " colinealidad " y " coplanaridad " (aplicados sólo a puntos; para vectores con un origen común, las expresiones término-colineal y término-coplanar se usaron donde correspondía ) [33] .

Varios de los artículos de Hamilton están dedicados a refinar el trabajo de Abel sobre la resolución de una ecuación de quinto grado [58] y los métodos numéricos . En el curso de su investigación sobre los cuaterniones, Hamilton demostró una serie de teoremas algebraicos que hoy se conocen como teoría matricial . De hecho, demostró el teorema de Hamilton-Cayley, que es importante en álgebra lineal , para matrices de dimensión , Cayley (1858) [59] publicó el concepto mismo de matriz y la formulación del teorema (sin prueba) , y Frobenius dio el prueba para el caso general en 1898.

Óptica

Teoría de la propagación de la luz

Hamilton, de 19 años, presentó su primer trabajo científico importante, titulado Caustics , en 1824 al Dr. Brinkley , entonces presidente de la Academia Irlandesa de Ciencias. Este trabajo (dedicado al desarrollo de la geometría diferencial de las congruencias rectilíneas con aplicación a la teoría de los instrumentos ópticos [8] ) permaneció en forma manuscrita, pero desde 1827 Hamilton comenzó a publicar una serie de artículos con una versión significativamente ampliada y profundizada del mismo bajo el título general "Theory of Ray Systems" ( Teoría de Sistemas de Rayos ) [60] .

En estos artículos, Hamilton buscó construir una teoría formal de los fenómenos ópticos conocidos que sería aceptable independientemente del punto de vista aceptado sobre la naturaleza de la luz (es decir, su interpretación como una corriente de partículas o como ondas que se propagan). Afirmó que su objetivo era crear una teoría de los fenómenos ópticos que tuviera la misma "belleza, eficiencia y armonía" que la mecánica analítica de Lagrange [61] .

En el primer artículo del ciclo (1827), Hamilton, en relación con el caso de un medio ópticamente homogéneo, investiga las propiedades generales de los rayos de luz que salen de un punto luminoso y son reflejados o refractados . Basa su investigación en las leyes de reflexión y refracción de los rayos conocidas por experiencia. Basándose en estas representaciones de la óptica geométrica , Hamilton llega al concepto de "superficies de acción constante" (en la interpretación ondulatoria - el frente de onda ), recibe y analiza las ecuaciones diferenciales que describen estas superficies [62] .

Al final del artículo, Hamilton muestra que todas las leyes ópticas pueden derivarse del principio variacional extremadamente general y fructífero aplicado a alguna "función característica" que caracteriza a un sistema óptico particular. En terminología moderna, esta función es la integral de la acción en función de los límites de integración [63] ; a menudo se le conoce como el eikonal de Hamilton [64] . En una carta a Coleridge , Hamilton recordó [65] :

Mi objetivo no era descubrir nuevos fenómenos, ni mejorar el diseño de los instrumentos ópticos, sino transformar la geometría de la luz mediante el cálculo diferencial , estableciendo un único método para resolver todos los problemas de esta ciencia.

Explica: "Un problema común que me he planteado en óptica es investigar las consecuencias matemáticas del principio de mínima acción ". Este principio, que generaliza mucho el clásico "principio de tiempo mínimo de Fermat" , resultó ser el mismo tanto para la mecánica como para la óptica. Por medio de su teoría, Hamilton también demostró rigurosamente que la óptica geométrica es el caso límite de la óptica ondulatoria para longitudes de onda cortas [65] .

En The First Supplement (1830), Hamilton amplía el estudio al caso de medios ópticos arbitrarios (no homogéneos y no isotrópicos); en este caso, junto a la función característica , se introduce una segunda función , que depende de los cosenos directores del último segmento de la viga. En el "Segundo Suplemento" (el mismo año 1830), Hamilton obtiene una ecuación diferencial parcial para e interpreta la función como una integral general de la ecuación dada [66] .

La forma acabada de la teoría de Hamilton adquiere el "Tercer Suplemento" (1832). Aquí demuestra que el método de las funciones características describe la geometría de los rayos de luz con plena generalidad y es compatible con las teorías corpuscular y ondulatoria de la luz [67] .

Aplicaciones de la teoría

En The Third Supplement, Hamilton, sobre la base de su teoría, predijo el fenómeno de la refracción cónica interna : si se corta una placa plana en un cristal con dos ejes ópticos perpendiculares a uno de los ejes y se dirige un haz de luz hacia esta placa para que se refracte paralelamente al eje óptico, luego a la salida de la placa, será visible un anillo luminoso (cuyo diámetro depende del espesor de la placa). Los experimentos con aragonito realizados por el físico universitario Humphrey Lloyd proporcionaron apoyo experimental para esta predicción [61] [68] . Este descubrimiento, sensacional en sí mismo, demostró claramente la fecundidad de los métodos de Hamilton, incluso fue comparado con el descubrimiento de Neptuno "en la punta de una pluma" [69] .

Aunque la investigación teórica de Hamilton en óptica perseguía inicialmente el objetivo de crear métodos matemáticos fiables para calcular instrumentos ópticos, su brillante trabajo no encontró aplicación práctica durante varias décadas [70] . Solo más tarde la teoría de Hamilton encontró una amplia aplicación en la óptica geométrica aplicada y la teoría de los dispositivos ópticos [71] .

Al elegir cuál de las teorías de la luz, corpuscular u ondulatoria, debería preferirse, Hamilton finalmente optó por la última. A partir de 1832, contribuyó a la aceptación en Gran Bretaña del principio de la naturaleza ondulatoria de la luz , que en ese momento, gracias al trabajo de Fresnel , ya había ganado en Francia, pero, a pesar del trabajo pionero de Thomas Young , había sido rechazado durante mucho tiempo por la mayoría de los físicos ingleses. En sus artículos, Hamilton demostró que el enfoque variacional propuesto previamente para la óptica geométrica también es completamente válido para la teoría ondulatoria [72] .

Los historiadores de la ciencia han descubierto que, en el curso del estudio de la propagación de las ondas, Hamilton en 1839 fue el primero en introducir el concepto de la velocidad de grupo de una onda y señaló la diferencia entre las velocidades de grupo y de fase de una onda; sin embargo, este descubrimiento suyo pasó desapercibido y fue redescubierto algo más tarde por Stokes y Rayleigh [7] . Esta diferencia también resultó ser fundamental en el desarrollo del aparato de la mecánica cuántica [72] .

El significado histórico de la óptica de Hamilton

Los destacados trabajos de Hamilton sobre óptica y la analogía óptico-mecánica descubierta por él no fueron inmediatamente apreciados por la comunidad científica [73] . Solo a finales del siglo XIX, cuando G. Bruns y otros investigadores redescubrieron varios de sus resultados, comenzaron a introducirse en la óptica [74] [19] . Posteriormente -ya a principios del siglo XX- la síntesis de los problemas de la óptica y la mecánica, lograda en los trabajos de Hamilton, fue nuevamente encontrada por L. de Broglie en trabajos sobre la teoría fotónica de la luz (donde llegó a la concepto de dualismo de ondas corpusculares  - estableciendo una correspondencia entre el principio de Maupertuis-Euler , aplicado al movimiento de una partícula, y el principio de Fermat , aplicado al movimiento de una onda asociada a ella, dio una explicación cuántica de la óptica-mecánica analogía). Un poco más tarde, las ideas de Hamilton jugaron un papel inspirador para la investigación de E. Schrödinger , quien desarrolló la mecánica ondulatoria y obtuvo la ecuación básica de la mecánica cuántica para la función de onda : la ecuación de Schrödinger [61] [75] .

Mecánica teórica y física

El principio de la acción estacionaria

Los métodos variacionales descritos anteriormente, propuestos por Hamilton para problemas de óptica, pronto los desarrolló para aplicarlos al problema general de la mecánica, donde introdujo en consideración un análogo de la "función característica": la "función principal", que es la integral de la acción [76] .

La tarea principal de la dinámica : calcular el movimiento de un cuerpo o sistema de cuerpos para una distribución dada de fuerzas que actúan. Al mismo tiempo, las conexiones (estacionarias o cambiantes en el tiempo) pueden imponerse al sistema de cuerpos . A finales del siglo XVIII, en su Mecánica analítica, Lagrange ya había formulado su versión del principio variacional [77] y daba solución al problema para el caso de sistemas con restricciones holonómicas .

Hamilton en 1834-1835 publicó (en dos artículos "Sobre el método general de la dinámica") para sistemas mecánicos con restricciones holonómicas estacionarias un nuevo principio variacional (ahora conocido como principio de acción estacionaria , o principio de Hamilton [78] ):

Aquí  , es la acción,  es el Lagrangiano del sistema dinámico, y  son las coordenadas generalizadas . Hamilton hizo de este principio la base de su "mecánica hamiltoniana" . Señaló una forma de construir una "función fundamental" ( función de Hamilton ), a partir de la cual, por diferenciación y transformaciones finitas, sin ninguna integración , se obtienen todas las soluciones del problema variacional [77] .

En coordenadas generalizadas, la acción según Hamilton tiene la forma:

donde  es la función de Hamilton del sistema dado;  - coordenadas (generalizadas), - impulsos generalizados  conjugados . El conjunto de coordenadas e impulsos caracteriza (en cada momento del tiempo) el estado dinámico del sistema y, por lo tanto, determina completamente la evolución (movimiento) del sistema dado [77] . Tenga en cuenta que en 1848 M. V. Ostrogradsky extendió el principio de Hamilton al caso de sistemas con restricciones holonómicas no estacionarias [79] (después de lo cual se amplió el nombre del principio de Hamilton-Ostrogradsky [78] ); en 1901, G. K. Suslov y P. V. Voronets independientemente generalizaron el principio de Hamilton-Ostrogradsky al caso de sistemas no holonómicos [80] .

Ecuaciones canónicas de Hamilton

Habiendo variado la acción independientemente para todos y , Hamilton en 1835 obtuvo una nueva forma de las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecánicos: las ecuaciones canónicas de Hamilton [18] :

El sistema resultante de ecuaciones canónicas contiene el doble de ecuaciones diferenciales que el de Lagrange, pero todas son de primer orden (para Lagrange es de segundo orden).

Importancia del trabajo de Hamilton sobre la dinámica

La forma de dinámica propuesta por Hamilton atrajo la atención de muchos matemáticos prominentes del siglo XIX: C. Jacobi , M. V. Ostrogradsky , C. Delaunay , E. J. Routh , S. Lee , A. Poincaré y otros, quienes ampliaron y profundizaron significativamente el trabajo . de Hamilton [76] .

El miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS, L. N. Sretensky , elogió el trabajo de Hamilton sobre dinámica y señaló: "Estos trabajos formaron la base de todo el desarrollo de la mecánica analítica en el siglo XIX" [81] . El académico de la Academia Rusa de Ciencias VV Rumyantsev expresó una opinión similar : “La analogía óptico-mecánica de Hamilton determinó el progreso de la mecánica analítica durante un siglo” [77] . Según el profesor L. S. Polak , fue "una teoría que casi no tiene análogos en mecánica en términos de generalidad y abstracción", lo que abrió oportunidades colosales en mecánica y ciencias afines [82] . El académico V. I. Arnold caracterizó las posibilidades que se abrieron tras el advenimiento de la mecánica hamiltoniana [83] de la siguiente manera:

El punto de vista hamiltoniano nos permite investigar a fondo una serie de problemas en mecánica que no pueden resolverse por otros medios (por ejemplo, el problema de la atracción por dos centros fijos y el problema de las geodésicas en un elipsoide triaxial ). El punto de vista hamiltoniano es aún más importante para los métodos aproximados de la teoría de perturbaciones ( mecánica celeste ), para comprender la naturaleza general del movimiento en sistemas mecánicos complejos ( teoría ergódica , mecánica estadística ) y en relación con otras ramas de la física matemática (óptica). , mecánica cuántica, etc.). .).

El enfoque de Hamilton resultó ser muy eficaz en muchos modelos matemáticos de la física. Este fructífero enfoque se basa, por ejemplo, en el curso de formación de varios volúmenes "Física teórica" ​​de Landau y Lifshitz . Inicialmente, el principio variacional de Hamilton se formuló para problemas de mecánica, pero bajo algunos supuestos naturales, las ecuaciones de Maxwell [84] del campo electromagnético se derivan de él . Con el advenimiento de la teoría de la relatividad , resultó que este principio también se cumple estrictamente en la dinámica relativista [85] . Su poder heurístico ayudó significativamente al desarrollo de la mecánica cuántica y, al crear la teoría general de la relatividad, David Hilbert aplicó con éxito el principio hamiltoniano para derivar las ecuaciones del campo gravitatorio (1915) [86] . De lo dicho se deduce que el principio de acción mínima de Hamilton ocupa un lugar entre las leyes fundamentales y básicas de la naturaleza, junto con la ley de conservación de la energía y las leyes de la termodinámica .

Otros trabajos en mecánica

Hamilton también pertenece a la introducción a la mecánica del concepto de hodógrafa (1846-1847), una representación visual de los cambios en la magnitud y dirección de un vector a lo largo del tiempo. La teoría de la hodógrafa fue desarrollada por Hamilton para una función vectorial arbitraria de un argumento escalar [87] ; este es el nombre de la línea descrita por el final del vector con el comienzo en el polo fijo cuando cambia el argumento. En cinemática , la mayoría de las veces se trabaja con la hodógrafa de la velocidad de un punto [88] [89] .

Hamilton demostró un hermoso teorema (relacionado ya con la dinámica ): en el caso del movimiento orbital bajo la acción de la gravedad newtoniana , la hodógrafa de velocidad es siempre un círculo [10] .

Cosmovisión y cualidades personales

Rasgos

Tanto sus propias habilidades brillantes como una vida personal sin éxito provocaron en Hamilton una pasión irresistible por el trabajo científico creativo. Trabajaba 12 horas o más al día, olvidándose de la comida. De alguna manera compuso un epitafio lúdico para sí mismo: "Yo era laborioso y amante de la verdad" [90] .

Mantuvo una activa correspondencia con colegas y escritores, de los cuales son de particular interés las cartas a uno de los creadores de la lógica matemática , Augustus de Morgan . Por alguna razón nunca intercambió cartas con los más grandes matemáticos de la época ( Gauss , Cauchy , Riemann , etc.) [91] . La entrega de revistas científicas extranjeras a Irlanda fue irregular y, en cartas, Hamilton se quejó de la dificultad de familiarizarse con los últimos avances matemáticos. En 1842, Hamilton visitó Inglaterra para un seminario científico y se reunió con un destacado sucesor de su trabajo , Carl Jacobi , quien más tarde llamó a Hamilton "el Lagrange de este país" [92] .

Puntos de vista filosóficos y religiosos

A juzgar por las cartas y notas de Hamilton, estaba muy interesado en la filosofía y apreciaba especialmente a Berkeley y Kant [66] . No creía que las leyes de la naturaleza descubiertas por nosotros reflejaran adecuadamente los patrones reales. El modelo científico del mundo y la realidad, escribió, están "íntima y milagrosamente conectados en virtud de la unidad última, subjetiva y objetiva, en Dios, o, hablando menos técnicamente y más religiosamente, en virtud de la santidad de los descubrimientos que él mismo se complació en hacer en el Universo para el intelecto humano". Según Kant, Hamilton consideraba que las ideas científicas eran productos de la intuición humana [93] .

Hamilton era un creyente sincero, un miembro activo del conservador "movimiento de Oxford" en el anglicanismo , incluso fue elegido guardián de la iglesia de su distrito. En la década de 1840, publicó artículos en revistas científicas sobre dos problemas religiosos: el cálculo del equinoccio en el año del Concilio de Nicea y la estimación del tiempo de la ascensión de Cristo al cielo [94] .

Metodología de la investigación científica

Trabajando sobre los fundamentos de la óptica matemática, Hamilton llegó a importantes conclusiones metodológicas . Los manuscritos de Hamilton [95] , publicados ya en el siglo XX , muestran que llegó a sus resultados generales en óptica sobre la base de un minucioso análisis de casos particulares, tras lo cual siguió un cuidadoso acabado de la presentación, ocultando casi por completo el camino a lo largo que el autor movió [96] .

Hamilton esbozó su concepto científico y metodológico en 1833 en el artículo "Sobre el método general para determinar las trayectorias de la luz y los planetas utilizando los coeficientes de la función característica". En él, escribió que cualquier ciencia física tiene dos direcciones diferentes de desarrollo: inductiva y deductiva : "En toda ciencia física, debemos ascender de los hechos a las leyes por inducción y análisis y descender de las leyes a las consecuencias por deducción y síntesis" [97]. ] . Al mismo tiempo, para la aplicación exitosa de los métodos matemáticos, el enfoque deductivo debe basarse en un método general, partir de una idea central. Hamilton justificó en detalle la conveniencia de adoptar la ley de acción mínima (estacionaria) como ley general para la óptica, y al final del artículo discutió las perspectivas de un enfoque similar en mecánica y astronomía [98] .

Memoria

Muchos conceptos y afirmaciones científicas están asociados con el nombre de W. R. Hamilton.

El cráter Hamilton en el lado visible de la Luna lleva el nombre del científico .

En Irlanda, dos institutos científicos llevan el nombre del mejor matemático del país:

  • El Instituto Hamilton en la Universidad Nacional de Irlanda [99] , Maynooth .
  • Instituto de Matemáticas Hamilton en Trinity College Dublin [100] .

En 2005, la comunidad científica de muchos países celebró el 200 aniversario de William Hamilton; el gobierno irlandés declaró este año el "Año de Hamilton" y el Banco Central de Irlanda emitió una moneda conmemorativa de 10 € [101] .

Procedimientos en traducción rusa

  • Hamilton, W. R. Obras seleccionadas: óptica, dinámica, cuaterniones . — M .: Nauka, 1994. (Serie: Clásicos de la ciencia). — 560 págs.
    • ÓPTICA GEOMÉTRICA
      • En una vista de la óptica matemática (9).
      • La tercera adición a la "Experiencia en la teoría de sistemas de rayos" (10).
      • Sobre algunos resultados derivados de la visión de la función característica en óptica (166).
    • ÓPTICA FÍSICA
      • Investigación sobre la dinámica de la luz (175).
      • Investigaciones sobre la oscilación relacionadas con la teoría de la luz (177).
    • ANALOGÍA OPTICO-MECÁNICA
      • Sobre el método general de representar las trayectorias de la luz y los planetas por derivadas parciales de la función característica (184).
      • Sobre la aplicación a la dinámica del método matemático general aplicado anteriormente a la óptica (210).
    • DINÁMICA
      • Sobre un método general en dinámica por medio del cual el estudio de los movimientos de todos los sistemas libres de puntos de atracción o repulsión se reduce a encontrar y diferenciar una relación central o función característica (215).
      • El segundo ensayo sobre el método general en dinámica (287).
    • CUATERNIONES
      • Sobre los cuaterniones, o sobre un nuevo sistema de cantidades imaginarias en álgebra (345).
      • Prefacio a Lectures on Quaternions (392).
    • ADICIONES
      • De una carta de W. R. Hamilton a J. Herschel (439).
      • Carta de W. R. Hamilton a John T. Graves, Esq. (442).
    • APLICACIONES
      • Polaco L. S. William Rowan Hamilton (1805-1865) (457).
      • Cálculo del cuaternión de Aleksandrova NV Hamilton (519).
    • Comentarios, bibliografía, índice de nombres.

Consulte la lista de los trabajos matemáticos de Hamilton , también hay enlaces al texto original completo de estos trabajos suyos en los formatos (opcional) Plain TeX , DVI , PostScript , PDF .

Notas

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  • Khramov Yu. A. Hamilton William Rowan // Físicos: Guía biográfica / Ed. A. I. Akhiezer . - Ed. 2º, rev. y adicional - M.  : Nauka , 1983. - S. 73-74. — 400 s. - 200.000 copias.
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