Teorema fundamental de la geometría de Riemann

El teorema fundamental de la geometría riemanniana establece que en cualquier variedad riemanniana (o variedad pseudo-riemanniana ) existe una única conexión métrica libre de torsión , llamada conexión Levi-Civita de la métrica dada. Aquí, una conexión métrica (o riemanniana ) es una conexión que conserva el tensor métrico .

Redacción

Teorema fundamental de la geometría de Riemann . Sea ( M , g ) una variedad Riemanniana (o variedad pseudo-Riemanniana ). Entonces existe una conexión afín única ∇ que satisface las siguientes condiciones:

para cualquier campo vectorial X , Y , Z

\parcial_{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla_{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla_{X}Z\rangle ,

donde denota la derivada de la función a lo largo del campo vectorial X .

{\ estilo de visualización \ parcial _ {X} \ ángulo Y, Z \ ángulo}

{\ estilo de visualización \ ángulo Y, Z \ ángulo}

para cualquier campo vectorial X , Y

{\ estilo de visualización \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y],}

donde [ X , Y ] significa el corchete de mentira de los campos vectoriales X , Y .

La primera condición significa que el tensor métrico se conserva bajo traslación paralela , y la segunda condición expresa el hecho de que la torsión de la conexión es cero.

Una generalización del teorema fundamental establece que en una variedad pseudo-Riemanniana existe una conexión única que conserva el tensor métrico con cualquier forma 2 vectorial dada como su torsión.

Prueba

La siguiente prueba técnica es la fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en el sistema de coordenadas local. Para una métrica específica, este sistema de ecuaciones puede volverse bastante complejo. Existen métodos más rápidos y simples para obtener los símbolos de Christoffel para una métrica particular, como usar la integral de acción y las ecuaciones de Euler-Lagrange relacionadas.

Sea m la dimensión de la variedad M . En algún mapa local, considere los campos de vectores de coordenadas estándar

{\parcial}_{i}={\frac {\parcial}{\parcial x^{i))},\qquad i=1,\dots,m

Localmente, el elemento g ij del tensor métrico tiene la forma

g_{ij}=\left\langle {\parcial}_{i},{\parcial}_{j}\right\rangle

Para establecer la conectividad, basta con que todos los i , j y k determinen

{\ estilo de visualización \ izquierda \ langle \ nabla _ {\ parcial _ {i}} \ parcial _ {j}, \ parcial _ {k} \ derecho \ rangle}

Recuerde que la conexión local viene dada por m 3 funciones suaves

{\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\))

dónde

\nabla_{\parcial_{i}}\parcial_{j}=\sum_{l}\Gamma_{ij}^{l}\parcial_{l}

La condición de no torsión significa que

{\ estilo de visualización \ nabla _ {\ parcial _ {i}} \ parcial _ {j} = \ nabla _ {\ parcial _ {j}} \ parcial _ {i}}

Por otro lado, la compatibilidad con la métrica de Riemann se escribe como

{\ Displaystyle \ parcial _ {k} g_ {ij} = \ izquierda \ langle \ nabla _ {\ parcial _ {k}} \ parcial _ {i}, \ parcial _ {j} \ rangle + \ langle \ parcial _ {i},\nabla_{\parcial_{k}}\parcial_{j}\right\rangle}

Para i , j y k fijos , las permutaciones dan 3 ecuaciones con 6 incógnitas. El supuesto de no torsión reduce el número de variables a tres. El sistema resultante de tres ecuaciones lineales tiene una solución única

\left\langle \nabla_{\partial_{i}}\parcial_{j},\parcial_{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\ parcial _{i}g_{jk}-\parcial _{k}g_{ij}+\parcial _{j}g_{ik}\right)

Esta es la primera identidad de Christoffel .

Además, notamos que

\left\langle \nabla_{\parcial_{i}}\parcial_{j},\parcial_{k}\right\rangle =\Gamma_{ij}^{l}g_{lk}

donde usamos la convención de Einstein , es decir, el índice superior e inferior emparejado significa que la suma se produce sobre todos los valores de este índice. Al invertir el tensor métrico, obtenemos la segunda identidad de Christoffel :

\Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\parcial_{i}g_{jk}-\parcial_{k}g_{ij}+\ parcial _ {j}g_{ik}\right)g^{kl}

La conexión resultante es la conexión Levi-Cevita.

Fórmula de Koszul

Una prueba alternativa del teorema fundamental de la geometría de Riemann es mostrar que una conexión métrica libre de torsión en una variedad M de Riemann está necesariamente dada por la fórmula de Koszul :

{\begin{matriz}{ll}2g(\nabla_{X}Y,Z)&=\,X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z( g(X,Y))\\&\cuadrángulo +\,g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end {formación}}

donde el campo vectorial actúa de forma natural sobre funciones suaves en una variedad de Riemann por la fórmula . $X$ $Xf=\parcial _{X}f$

Suponga que la conexión satisface las condiciones de simetría.

{\ estilo de visualización \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}

y compatibilidad con la métrica

{\ Displaystyle Xg (Y, Z) = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z)}

Luego, la suma se puede simplificar, lo que conduce a la fórmula de Koszul. $Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)$

En este caso, la expresión para determina unívocamente , y viceversa, se puede utilizar la fórmula de Koszul para especificar , de manera que se suele comprobar que la conexión es simétrica y consistente con la métrica g [1] . ${\ estilo de visualización g (\ nabla _ {X} Y, Z)}$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {X} Y}$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {X} Y}$ $\nabla _{X}$

Notas

↑ do Carmo, 1992 .

Literatura

do Carmo, Manfredo (1992), geometría de Riemann , Matemáticas: teoría y aplicaciones, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8