Grupo periódico
Un grupo periódico es un grupo en el que cada elemento tiene un orden finito . Todos los grupos finitos son periódicos. El concepto de grupo periódico no debe confundirse con el concepto de grupo cíclico .
El exponente (o período ) de un grupo periódico es el mínimo común múltiplo de los órdenes de elementos , si lo hay. Cualquier grupo finito tiene un exponente: este es un divisor de números .
Uno de los problemas clave de la teoría de grupos, el problema de Burnside , está dedicado a la cuestión de la relación entre grupos periódicos y grupos finitos en la clase de grupos generados finitamente , la cuestión principal es si la finitud del grupo se deriva de la existencia de el exponente (en el caso general, la respuesta es negativa).
Los ejemplos de grupos periódicos infinitos incluyen el grupo aditivo del anillo polinomial sobre un campo finito y el grupo cociente , como el grupo de Prufer , que es un subgrupo . Otro ejemplo es la unión de todos los grupos diédricos . Ninguno de estos grupos tiene un número finito de generadores y cualquier grupo lineal periódico con un número finito de generadores es finito. Golod construyó ejemplos de grupos periódicos infinitos con un número finito de generadores sobre la base del trabajo conjunto con Shafarevich ( el teorema de Golod-Shafarevich ), así como Alyoshin y Grigorchuk utilizando la teoría de los autómatas .
Lógica matemática
Una propiedad notable de los grupos periódicos es que no pueden formalizarse por medio de la lógica de primer orden . De lo contrario, se requeriría un axioma de la forma:
,
que contiene una disyunción infinita , y por lo tanto inaceptable. Es imposible sortear esta disyunción infinita utilizando un número infinito de axiomas; del teorema de compacidad se deduce que ningún conjunto de fórmulas de primer orden puede describir la clase de grupos periódicos [1] .
Conceptos relacionados
El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es el subgrupo formado por todos los elementos de orden finito. Un grupo de torsión abeliano es un grupo abeliano en el que cada elemento tiene un orden finito. Un grupo abeliano libre de torsión es un grupo abeliano en el que el elemento identidad es el único elemento de orden finito.
Véase también
- Torsión (álgebra)
- Teorema de Jordan-Schur
Notas
- ↑ Ebbinghaus, Flume, Thomas 1994 , pág. cincuenta.
Literatura
- Golod E. S. Sobre álgebras nulas y grupos p finitamente aproximables // Izv. Academia de Ciencias de la URSS Ser. Mat.. - 1964. - V. 28 , n. 2 . - S. 273-276 .
- Aleshin S. V. Autómatas finitos y el problema de Burnside en grupos periódicos // Matemáticas. notas - 1972. - T. 11 , núm. 3 . — S. 319–328 .
- Grigorchuk R. I. Sobre el problema de Burnside en grupos periódicos // Funct. análisis y sus aplicaciones.- 1980.- V. 14 , no. 1 . — S. 53–54 .
- Grigorchuk R. I. Grados de crecimiento de grupos generados finitamente y la teoría de los medios invariantes // Izv. Academia de Ciencias de la URSS Ser. Mat.. - 1984. - T. 48 , núm. 5 . — S. 939–985 .
- HD Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. lógica matemática. - 2. ed., 4. pr.. - Nueva York [ua]: Springer, 1994. - ISBN 978-0-387-94258-2 .