Superficie morina

La superficie de Morin es un modelo intermedio para la eversión de una esfera , descubierto por Bernard Morin. La superficie tiene una simetría rotacional cuádruple .

Si la esfera original a dar la vuelta tiene el exterior verde y el interior rojo, entonces al transformar la esfera por homotopía en una superficie de Morin, la mitad de la superficie de Morin visible desde el exterior será verde y la otra mitad roja:

La mitad de la superficie de Morin corresponde a la superficie exterior de la esfera (verde),
con la que es homeomorfa, y la otra mitad simétrica corresponde a la superficie interior de la esfera (roja).

Luego, rotar la superficie 90° alrededor de su eje de simetría cambiará sus colores, es decir, cambiará la polaridad (adentro-afuera) de la superficie orientable, de modo que al repetir la homotopía, los pasos van desde exactamente la misma posición en orden inverso al original. esfera después de girar la superficie de Morin dará como resultado una esfera, cuyo lado exterior es rojo y el lado interior es verde, es decir, una esfera invertida. A continuación se muestran los pasos para girar:

1. esfera: verde por fuera, roja por dentro...
2. convertir a...
3. Superficie de Morin,
3'. la superficie de Morin se gira 90°...
2'. transformación inversa a...
1'. esfera: roja por fuera, verde por dentro.

Textura de la superficie de Morin

La superficie de Morin se puede dividir en cuatro secciones congruentes. Estas secciones pueden denominarse aquí Este, Sur, Oeste y Norte, o sección 0, sección 1, sección 2 y sección 3, respectivamente.

Sección este de la superficie de Morina.

La superficie de Morin tiene cuatro puntos por los que pasa el eje de simetría. Estos cuatro puntos son los puntos inicial y final de las seis líneas de puntos de anclaje. Cada una de las cuatro secciones está delimitada por tres de estas líneas de puntos nodales, de modo que cada una de las cuatro secciones es homeomorfa a un triángulo. La sección este ahora se representa esquemáticamente: La figura muestra la sección este delimitada por los tres bucles ABCDA, AEFGA y AHIJA. El tercer bucle, AHIJA, es la línea de puntos de anclaje donde la sección Este se cruza a sí misma. El bucle ABCDA es la línea de punto de acceso que conecta la sección Este con la sección Oeste, y el bucle AEFGA es la línea de punto de acceso que conecta la sección Este con la sección Sur. El punto aquí en realidad se superpone a cuatro puntos diferentes: .

${\ estilo de visualización A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$

Así es como la sección Este se relaciona con otras secciones: deje que cada uno de sus bucles delimitadores se defina mediante 4 puntos ordenados, luego

{\ estilo de visualización (A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})}

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

(A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})

donde los puntos sin trazo pertenecen a la sección 0 (Este), los puntos con un trazo pertenecen a la sección 1 (Sur), los puntos con dos trazos pertenecen a la sección 2 (Oeste) y los puntos con tres trazos pertenecen a la sección 3 (Norte).

Los tres bucles restantes conectan las secciones de la siguiente manera:

{\ estilo de visualización (A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0}) }

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{ una}).

La sección este tiene, considerada en sí misma, un bucle de puntos de anclaje: AHIJA. Si se despliega la superficie, el resultado plano será el siguiente: que es homeomorfo a un triángulo:

La conexión de cuatro secciones triangulares en sus costuras da un tetraedro : que es homeomorfo a una esfera, esto muestra que la superficie de Morin es una esfera que se interseca a sí misma.

Galería de superficies Morin

Cuatro vistas diferentes de la superficie de Morin: las dos primeras se muestran con las "barreras de transición" recortadas, las dos últimas son vistas "desde abajo".

Superficie analítica de Morin

La superficie de Morin se puede describir elegantemente mediante un conjunto de ecuaciones [1] ya sea en una versión abierta (con polos en el infinito) o cerrada.

Galería de superficies Morin

Véase también

Eversión de esfera

Notas

↑ Bednorz, Bednorz, 2017 .

Literatura

Adam Bednorz, Witold Bednorz. Eversión de esfera analítica con un mínimo de eventos topológicos. — 2017.

Enlaces

"Turning a Sphere Inside Out" Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
A History of Sphere Eversions Archivado el 11 de julio de 2020 en Wayback Machine .