Eversión minimax

La eversión Minimax  es una clase de eversión de esfera con la ayuda de modelos intermedios .

Este es un método variacional y consiste en homotopías especiales (que son los caminos más cortos en la energía de Willmore ).

El método original de modelos intermedios no era óptimo: las homotopías regulares pasan por modelos intermedios, pero el camino desde la esfera redonda hasta el modelo intermedio se construía manualmente y no era un ascenso/descenso de gradiente.

La eversión a través de patrones intermedios se denomina eversión en bolsa [1] .

Modelos intermedios

El modelo intermedio es la inmersión de la esfera en y se llama así porque es una fase intermedia de la eversión de la esfera . Esta clase de inversión tiene simetría temporal: la primera mitad de la homotopía regular asigna la esfera redonda regular al modelo intermedio, y la segunda mitad (que asigna el modelo intermedio a la esfera invertida) es el mismo proceso a la inversa.

Explicación

Rob Kushner propuso una versión óptima de la eversión utilizando la energía de Willmore en el espacio de todas las inmersiones de la esfera en . Una esfera redonda y una esfera redonda invertida son los únicos mínimos globales para la energía de Willmore, y una inversión minimax es un camino que conecta estos estados a través de un punto de silla (similar a viajar entre dos valles a través de un camino de montaña) [2] .

Los modelos intermedios de Kushner son puntos de silla para la energía de Willmore que surge (según el teorema de Brian) de ciertas superficies mínimas completas en el espacio tridimensional. Una eversión minimax consiste en un ascenso de gradiente desde una esfera redonda a un modelo intermedio, luego un descenso de gradiente a una esfera evertida (el descenso de gradiente en la energía de Willmore se llama flujo de Willmore ). Más simétricamente, comience con un modelo intermedio, muévase en una dirección y baje por el arroyo Willmore hasta una esfera circular, luego muévase en la dirección opuesta por el arroyo Willmore hasta una esfera evertida.

Hay dos familias de modelos intermedios (esta observación se debe a Francis y Morin):

• orden impar: una generalización de la superficie de Boy : simetría de 3, 5, etc. El modelo intermedio es un plano proyectivo doblemente cubierto (generalmente una esfera anidada 2-1).
• orden uniforme: una generalización de la superficie de Morin : simetría de 2 pliegues, 4 pliegues, etc. El modelo intermedio es generalmente una esfera anidada 1-1, y media vuelta intercambia las superficies de la esfera.

Historia

La primera eversión de esfera bien definida fue propuesta por Shapiro y Phillips a principios de la década de 1960, utilizando la superficie de Boy como modelo intermedio. Más tarde, Morin descubrió la superficie (que ahora lleva su nombre) y la usó para construir otras inversiones de la esfera. A Kushner se le ocurrió la eversión minimax a principios de la década de 1980: detalles históricos .

Notas

1. ↑ Carter, 2012 , pág. 17
2. ↑ Emmer, 2005 , pág. 485.

Literatura

• Bending Energy and the Minimax Eversions (en John M. Sullivan 's "The Optiverse" and Other Sphere Eversions )
• Michele Emer. La mente visual II . - MIT Press, 2005. - ISBN 978-0-262-05076-0 .
• J.Scott Carter. Una Excursión en Álgebra Diagramática: Convirtiendo una Esfera de Roja a Azul . - World Scientific, 2012. - ISBN 978-981-4374-50-7 .