Teoría completa

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En lógica matemática , una teoría se llama completa si cualquier fórmula cerrada sintácticamente correcta o su negación es demostrable en esta teoría [1] . Si hay una fórmula cerrada tal que ni la negación ni la negación son demostrables en la teoría , entonces tal teoría se llama incompleta . La clausura de una fórmula significa que no contiene parámetros externos, y la corrección sintáctica significa que se ajusta a las reglas del lenguaje formal de la teoría. La demostrabilidad de una fórmula se entiende como la existencia de una secuencia de enunciados formales, cada uno de los cuales es un axioma de la teoría o se obtiene a partir de enunciados formales.reglas de inferencia de enunciados anteriores, y el último enunciado de la secuencia coincide con la fórmula que se está probando.

Informalmente hablando, una teoría está completa si cualquier declaración bien formulada en ella puede ser probada o refutada. Así, en lógica clásica , cualquier teoría contradictoria es obviamente completa, ya que cualquier fórmula en ella se deriva junto con su negación. Del famoso teorema de incompletitud de Gödel se deduce que cualquier teoría consistente de primer orden recursivamente axiomatizable suficientemente fuerte es incompleta. En particular, esta es la aritmética de Peano , una teoría que describe las propiedades habituales de los números naturales con suma y multiplicación.

El concepto de completitud de una teoría presentado anteriormente no debe confundirse con el concepto de completitud de la lógica , lo que significa que en cualquier teoría de esta lógica, todas las fórmulas válidas resultarán derivables de los axiomas de la lógica. Por ejemplo, el teorema de completitud de Gödel establece que la lógica clásica de primer orden es completa. Esto significa que en cualquier teoría de primer orden, cualquier fórmula idénticamente verdadera (es decir, verdadera independientemente de la interpretación de la firma y los valores de las variables) será derivable.

Ejemplos de teorías completas

• Cálculo de proposiciones de segundo orden .
• El sistema de axiomas de Tarski para la geometría euclidiana .
• La aritmética de Presburger es una teoría que describe los números naturales con suma pero sin multiplicación.
• Teoría de los números racionales con relación de orden y suma.
• La Teoría de los Campos Realmente Cerrados . En particular, la teoría de los números reales con suma, multiplicación y relación de orden ( teorema de Seidenberg-Tarski ).
• La teoría de conjuntos densos linealmente ordenados sin primer y último elemento.

Ejemplos de teorías que no están completas

Es intuitivamente claro que las teorías más generales, como, por ejemplo, la teoría de grupos , la teoría de conjuntos linealmente ordenados , no tienen por qué ser completas: de lo contrario, esto significaría que las mismas fórmulas cerradas son verdaderas para todos los grupos o para todos los conjuntos linealmente ordenados. Es obvio que este no es el caso.

• Aritmética formal con suma y multiplicación de números naturales. Un ejemplo no trivial de un enunciado escrito en el lenguaje de esta teoría y no demostrable en ella es el teorema de la secuencia de Goodstein .
• La teoría de semigrupos con multiplicación que contiene el axioma de asociatividad.
• La teoría de grupos con los axiomas de asociatividad, la existencia de un elemento neutro e inverso.
• Una teoría de la igualdad que contiene un solo predicado de igualdad y los axiomas de igualdad .

Véase también

• Criterio de Moose-Woth
• Teoría consistente
• Teoría decidible

Notas

1. ↑ Lyndon R., 1968 , pág. 56.

Literatura

• Vereshchagin N.K., Shen A. Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. Parte 2: Idiomas y cálculo Archivado el 30 de noviembre de 2016 en Wayback Machine , M.: MCNMO , 2012.
• Gilbert D., Akkerman V. Fundamentos de lógica teórica. - M. : URSS, 2010. - 304 p. — ISBN 978-5-484-01144-5 .
• Curry, Haskell B. Fundamentos de lógica matemática. — M .: Mir, 1969. — 567 p.
• Kleene S.K. Introducción a las metamatemáticas. - M. : Editorial de Literatura Extranjera, 1957. - 526 p.
• Lyndon R. Notas sobre lógica. - M. : Mir, 1968. - 128 p.