Secuencia de mirar y decir

La secuencia Look-and-Say es una secuencia de números que comienza así:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,… (secuencia A005150 en OEIS ).

Cada número subsiguiente se genera a partir del anterior concatenando el dígito que forma un grupo de dígitos idénticos y el número de dígitos de este grupo, por cada grupo de dígitos idénticos del número. Por ejemplo:

1 se lee como "una unidad", es decir, 11
11 se lee como "dos unidades", es decir, 21
21 se lee como "uno dos, una unidad", es decir, 1211
1211 se lee como "una unidad, uno dos, dos unidades", es decir, 111221
111221 se lee como "tres unos, dos dos, una unidad", es decir, 312211
312211 se lee como "uno tres, uno uno, dos dos, dos unos", es decir, 13112221

La secuencia de mirar y decir fue propuesta por John Conway [1] .

Para un dígito arbitrario d , excepto uno, como el inicial, la secuencia toma la forma:

d , 1 d , 111 d , 311 d , 13211 d , 111312211 d , 31131122211 d , …

Propiedades básicas

Crecimiento

La secuencia crece indefinidamente. De hecho, cualquier variante de la secuencia con una semilla entera crecerá indefinidamente. La excepción es la secuencia:

22, 22, 22, 22, 22,… (secuencia A010861 en OEIS ).

Limitación de dígitos utilizados

En la secuencia no aparecen dígitos que no sean 1, 2 y 3, a menos que el número inicial contenga otros dígitos o un grupo de más de tres dígitos [2] .

Crecimiento de longitud de números

En promedio, los números crecen un 30 % por iteración. Si denota la longitud del n-ésimo miembro de la secuencia, entonces hay un límite de relación : $L_{n}$ ${\frac{L_{n+1}}{L_{n}}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\lambda$ .

Aquí λ = 1.303577269034… es la constante de Conway [2] . El mismo resultado es válido para cualquier variante de la secuencia con una semilla distinta de 22.

Polinomio que devuelve la constante de Conway

La constante de Conway es la única raíz real positiva de un polinomio:

${\begin{alineado}&\,\,\,\,\,\,\,x^{71}&&&&-x^{69}&&-2x^{68}&&-x^{67} &&+2x^{66}&&+2x^{65}&&+x^{64}&&-x^{63}\\&-x^{62}&&-x^{61}&&-x^{60 }&&-x^{59}&&+2x^{58}&&+5x^{57}&&+3x^{56}&&-2x^{55}&&-10x^{54}\\&-3x^{ 53}&&-2x^{52}&&+6x^{51}&&+6x^{50}&&+x^{49}&&+9x^{48}&&-3x^{47}&&-7x^{46 }&&-8x^{45}\\&-8x^{44}&&+10x^{43}&&+6x^{42}&&+8x^{41}&&-5x^{40}&&-12x^{ 39}&&+7x^{38}&&-7x^{37}&&+7x^{36}\\&+x^{35}&&-3x^{34}&&+10x^{33}&&+x^ {32}&&-6x^{31}&&-2x^{30}&&-10x^{29}&&-3x^{28}&&+2x^{27}\\&+9x^{26}&&-3x ^{25}&&+14x^{24}&&-8x^{23}&&&&-7x^{21}&&+9x^{20}&&+3x^{19}&&-4x^{18}\\&- 10x^{17}&-7x^{16}&&+12x^{15}&&+7x^{14}&&+2x^{13}&&-12x^{12}&&-4x^{11}&&-2x ^{10}&&+5x^{9}\\&&&+x^{7}&&-7x^{6}&&+7x^{5}&&-4x^{4}&&+12x^{3}&&- 6x^{2}&&+3x&&-6\end{alineado}}$

En su artículo original, Conway comete el error de escribir "-" en lugar de "+" antes de . Pero el valor de λ dado en su artículo es correcto [3] . ${\ estilo de visualización x^{35}}$

Popularización

La secuencia Look-and-Say también se conoce como la secuencia numérica de Morris, en honor al criptógrafo Robert Morris . A veces se lo conoce como el "huevo del cuco" debido al rompecabezas "¿Cuál es el siguiente número en la secuencia 1, 11, 21, 1211, 111221?" descrito por Morris en el libro de Clifford Stoll El huevo del cuco.

Variaciones

Hay muchas variaciones de reglas para crear secuencias de mirar y contar. Por ejemplo, la secuencia "patrón de guisantes". Se diferencia de Look-and-Say en que para obtener un nuevo número, debe contar todos los dígitos iguales en el número. Comenzando con el número 1, obtenemos: 1, 11 (uno uno), 21 (dos unos), 1211 (uno dos, uno uno), 3112 (tres unos, uno dos), 132112 (uno tres, dos unos, uno dos), 312213 (tres 1, dos 2, un 3), etc. Como resultado, la secuencia llega a un ciclo de dos números, 23322114 y 32232114. [4]

Hay otra opción que difiere del "patrón de guisantes" en que los números se cuentan en orden ascendente y no como aparecen. Partiendo de uno, obtenemos la secuencia: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, ...

Estas secuencias tienen diferencias notables con Look-and-Say. A diferencia de la secuencia de Conway, un término dado en un "patrón de guisantes" no identifica de manera única al término anterior. La longitud de los números en el "patrón de guisantes" es limitada y, para el sistema numérico b-ario , no supera 2b y alcanza 3b para números iniciales grandes (por ejemplo, "cien unidades").

Dado que esta secuencia es infinita y su longitud es limitada, eventualmente debe repetirse, según el principio de Dirichlet . Como consecuencia, estas secuencias son siempre periódicas.

Véase también

Notas

↑ John Horton Conway. La extraña y maravillosa química de la descomposición audioactiva // Eureka . - 1986. - Enero ( vol. 46 ). - Pág. 5-16 . Archivado desde el original el 11 de octubre de 2014.
↑ 12 Óscar Martín . Mirar y decir bioquímica: ARN exponencial y ADN multicatenario // American Mathematical Monthly. - 2006. - vol. 113 , núm. 4 . - pág. 289-307 . — ISSN 0002-9890 . Archivado desde el original el 24 de diciembre de 2006.
↑ Ilán Vardi. Recreación Computacional en Mathematica.
↑ Generador de patrones de guisantes ascendentes . Consultado el 9 de agosto de 2018. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2016. (indefinido)