Secuencia Gheesweet

La secuencia de Gijswit es una secuencia que comienza con

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1,… (secuencia A090822 en OEIS ).

La secuencia lleva el nombre del creador de OEIS, Neil Sloan , en honor a D. Gijswijt. Esta secuencia es principalmente interesante debido a su lenta tasa de crecimiento: el número 4 aparece primero en la posición 220 y el número 5 aparece cerca de la posición 10 10 23 [1] .

Descripción

Representemos los miembros de la sucesión como letras del alfabeto, representadas por números naturales. El primer miembro de la secuencia es 1. Cada miembro subsiguiente es el número más grande , de modo que la cadena formada por la concatenación de todos los miembros anteriores (“letras”) se puede representar como (es decir , ), donde y son cadenas, y no tiene un longitud cero. Los números de varios dígitos en una secuencia deben tomarse como números, no como sus dígitos individuales. Es decir, por ejemplo, el número 10 se utilizará como el carácter completo "10", y no como "1" y "0". $k$ ${\ estilo de visualización XY ^ {k}}$ ${\displaystyle X\underbrace {YYY\dots Y}_{k))$ $X$ $Y$ $Y$

Ejemplo de generación de secuencia:

En la primera iteración, el primer término es 1
Representamos la cadena "1" como "1" 1 , el siguiente miembro es 1
Representamos la cadena "11" como "1" 2 , el siguiente miembro es 2
Representamos la cadena "112" como "112" 1 , el siguiente miembro es 1
Representamos la cadena "11211" como "112""1" 2 , el siguiente miembro es 2
Representamos la cadena "112112" como "112" 2 , el siguiente miembro es 2
Representamos la cadena "1121122" como "11211""2" 2 , el siguiente miembro es 2
Representamos la cadena "11211222" como "112112""2" 3 , el siguiente miembro es 3
Representamos la cadena "112112223" como "112112223" 1 , el siguiente miembro es 1

etc.

Propiedades

Existe una investigación limitada sobre la secuencia de Ghiiswit. Debido a esto, sigue siendo poco estudiado y muchas preguntas al respecto permanecen abiertas. .

Tasa de crecimiento

Teniendo en cuenta que el número 5 no aparece en la secuencia hasta aproximadamente 10 10 en la posición 23 , es poco probable que usando el método de "fuerza bruta" se encuentren números mayores que 4. Sin embargo, se ha demostrado que todos los números naturales aparecen en la secuencia [2 ] . No se conoce la tasa exacta de crecimiento, pero se supone que por primera vez aparece un número natural en la secuencia en la posición [3] . $norte$ ${\displaystyle 2^{2^{3^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n-1))))))))))$

Promedio

Aunque se ha probado que cualquier número natural ocurre en una secuencia, se ha sugerido que la secuencia puede tener un valor promedio. Formalmente, la hipótesis es :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}G(i)<\infty$

donde es el miembro th de la secuencia de Gijswit. $G(n)$ $norte$

También se desconoce la frecuencia de aparición de cualquier número natural en la secuencia.

Estructura recursiva

La secuencia se puede dividir en secuencias discretas, "bloque" y "pegamento", que se pueden usar para crear recursivamente la secuencia .

Primero, definimos y como las primeras secuencias de "bloque" y "pegamento", respectivamente. Forman los primeros términos de la sucesión: ${\ estilo de visualización B_ {1} = 1}$ ${\ estilo de visualización S_ {1} = 2}$

$B_{1}B_{1}S_{1}=1,1,2$ .

A continuación, defina recursivamente . Entonces la cadena "pegamento" tomará la forma . Ahora la secuencia generada es: ${\displaystyle B_{2}=B_{1}B_{1}S_{1))$ ${\ estilo de visualización S_ {2} = 2,3,3}$

$B_{2}B_{2}S_{2}=1,1,2,1,1,2,2,2,3$ .

Tenga en cuenta que no definimos la cadena "pegamento" de forma recursiva, sino que le asignamos un valor específico que obtenemos de la definición de la secuencia Gijswit. $S_{2}$

Así, podemos definir una fórmula para "bloques": . Las líneas de "pegamento" se obtienen completando la secuencia por definición, hasta llegar a 1. ${\displaystyle B_{n+1}=B_{n}B_{n}S_{n))$ $S_{n}$

Véase también

Notas

↑ Sloane, NJA (ed.). Secuencia A090822 . Enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS. Consultado el 15 de agosto de 2018. Archivado desde el original el 16 de agosto de 2018. (indefinido)
↑ DC Gijswijt. Una secuencia de crecimiento lento definida por una recurrencia inusual . arXiv.org (2006). Consultado el 15 de agosto de 2018. Archivado desde el original el 16 de agosto de 2018. (indefinido)
↑ Neil Sloane. Seven Staggering Sequences 3. Consultado el 15 de agosto de 2018. Archivado desde el original el 28 de junio de 2018. (indefinido)