Flujo (teoría de la medida geométrica)

Un flujo es una generalización del concepto de subvariedad que juega un papel clave en la teoría de la medida geométrica . En particular, los flujos se suelen utilizar para probar la existencia de superficies mínimas con singularidades.

Los flujos se definen como funciones generalizadas : un flujo es un funcional lineal en el espacio de formas diferenciales .

Definición

Denotar por el espacio de formas lisas con soporte compacto sobre una variedad lisa . Un flujo se define como un funcional lineal sobre un continuo en el sentido de las distribuciones . Es decir, el funcional lineal $\Omega_{c}^{m}(M)$ $metro$ $METRO$ $\Omega_{c}^{m}(M)$

T\colon \Omega_{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}

es un flujo si, para cualquier secuencia de formas suaves cuyos portadores de corte se encuentran en un conjunto compacto, convergen a la forma cero en tenemos $metro$ $\omega_{k}$ $C^\infty$

T(\omega _{k})\a 0

Notas

El espacio de -dimensional fluye sobre este espacio vectorial real . ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ $metro$ $METRO$

Muchas propiedades de las funciones genéricas se transfieren a los flujos. Por ejemplo, se puede definir un portador de flujo como el complemento de un conjunto abierto máximo tal que $T$ ${\ estilo de visualización U \ subconjunto M}$ $T(\omega )=0$ para cualquier forma . $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$
- El espacio de flujos bidimensionales con soporte compacto generalmente se denota por . $metro$ ${\mathcal {E}}_{m}(M)$

El espacio de flujos está naturalmente dotado de una topología débil. $T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,$

Normas

Es posible definir varias normas sobre un subespacio del espacio de todos los flujos. Una de estas normas es la masa .

\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},

donde está la -norma en el espacio de las formas. ${\ estilo de visualización | \ vert \ omega (x) \ vert |}$ $L^{\infty}$

La masa de un flujo es una generalización natural del volumen de una subvariedad.

Norma plana, definida como

\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\parcial A)+\mathbf {M} (A)\dos puntos A\in {\mathcal {E)) _ {m+1}\}.

Literatura

Federer G. Teoría de la medida geométrica. - 1987. - 760 págs.