Portador de función

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El portador de una función es el cierre del conjunto en el que la función es distinta de cero.

Soporte de la función clásica

El soporte de la función es el cierre del subconjunto en el que la función de valor real no desaparece: $u\colon X\to \mathbb{R}$ $X$ $tu$

{\mathrm {supp}}\,u=\overline {\left\{x\mid u(x)\neq 0\right\}}).

El caso más común es cuando la función se define en un espacio topológico y es continua. En tal caso, el portador se define como el subconjunto cerrado más pequeño fuera del cual es igual a cero. $tu$ $X$ $X$ $tu$

Portador compacto

Las funciones con soporte compacto son aquellas cuyo soporte es un subconjunto compacto de . $X$ $X$

Por ejemplo, si es una línea real , entonces todas las funciones continuas que desaparecen en son funciones con soporte compacto. $X$ $|x|>C$

Una función se dice finita si su soporte es compacto .

Portador de funciones genéricas

También se puede introducir el concepto de soporte para una función generalizada , es decir, para un funcional sobre un conjunto de funciones finitas infinitamente suaves .

Formal definición

Considere una función generalizada y todos los conjuntos tales que si la función finita desaparece en el conjunto , entonces el valor es 0. $F$ $k$ $\varphi$ $k$ $(f,\;\varphi )$

El más pequeño (por inclusión) de tales conjuntos se llama portador de la función generalizada $F$ . (De lo contrario, podemos decir que es la intersección de todos los tales ). ${\mathrm {soporte}}\,f$ $k$

Cabe señalar que el soporte de la función generalizada será un conjunto compacto no vacío .

Nota

Nótese que esta definición de transportista no coincide con la clásica. De hecho, una función generalizada se define en el espacio de funciones finitas infinitamente uniformes , lo que significa que el soporte clásico debe ser un subconjunto de , mientras que el soporte de una función generalizada es un subconjunto de . $F$ $C_{0}^{{\infty}}(X)$ $C_{0}^{{\infty}}(X)$ $X$

Ejemplos

Como ejemplo, considere la función de Dirac . $\delta(x)$

Tome cualquier función finita con soporte que no incluya el punto 0. Dado que ( aplicado como un funcional lineal a ) es cero para tales funciones, podemos decir que el soporte es solo el punto . $\varphi$ $(\delta,\;\varphi)$ $\delta$ $\varphi$ $\delta$ $\{0\}$

Transportista Singular

En el análisis de Fourier en particular, es interesante estudiar el soporte singular de la función generalizada . Tiene una interpretación intuitiva como un conjunto de puntos en los que "la función generalizada no se reduce a la habitual".

Formal definición

Sea una función generalizada . Se puede representar como , donde es una función generalizada regular y es una función generalizada singular . (Tal representación, en términos generales, no es única). $F$ $f=u+v$ $tu$ $v$

La intersección de apoyos en todas las expansiones posibles se llama apoyo singular de la función generalizada . ${\mathrm {soporte}}\,v$ $f=u+v$ $F$

La notación clásica para el portador singular . ${\mathrm {cantar\,supp}}\,f$

Ejemplos

Así, el soporte singular de la función de Dirac es el punto 0.

En este caso particular, el soporte singular y solo el soporte de la función generalizada coinciden. Sin embargo, esto no es una propiedad general. Por ejemplo, para una función generalizada que actúa de acuerdo con la fórmula

(f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),

la portadora será el segmento , y la portadora singular será el punto 0. $[0,\;1]$

Otro ejemplo es la transformada de Fourier para la función escalón de Heaviside que puede considerarse hasta una constante como , excepto por el punto donde . Dado que este es obviamente un punto singular, es más exacto afirmar que la transformación tiene un soporte singular como distribución . $1/x$ $x=0$ $\{0\}$

Para distribuciones con múltiples variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de cálculo . Los soportes singulares también se pueden utilizar para comprender fenómenos específicos de la teoría de la distribución, como los intentos de multiplicar distribuciones (no es posible elevar al cuadrado la función delta de Dirac, principalmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se multiplican deben separarse).

El soporte singular encuentra una aplicación importante en la teoría de operadores pseudodiferenciales (PDO) , en particular en el teorema de pseudolocalidad PDO .

Transportista de medidas

Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la línea real son casos especiales de funciones generalizadas (distribuciones) , también podemos hablar sobre el soporte de una medida de la misma manera. $\matemáticas {R}$

Véase también

Literatura

Shubin MA Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral . - 2ª ed. - M .: "Dobrosvet", 2003.