Regla de Keynes-Ramsey

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La regla de Keynes-Ramsey es la regla del comportamiento óptimo del consumidor en el problema de la elección intertemporal . La regla describe la trayectoria óptima del consumo a lo largo del tiempo para un determinado nivel de ingresos, tasa de interés sobre el ahorro y tasa de descuento subjetiva [1] .

La regla de Keynes-Ramsey relaciona los niveles óptimos de consumo en dos periodos de tiempo adyacentes. Por lo tanto, describe las trayectorias óptimas del comportamiento del consumidor en modelos macroeconómicos dinámicos.

Desde un punto de vista matemático, la regla de Keynes-Ramsey es una condición de optimalidad necesaria para un problema de control óptimo . También se conoce como la ecuación de Euler-Lagrange [2] .

Historia

La regla Keynes-Ramsey lleva el nombre de Frank Ramsey y su mentor John Maynard Keynes . La regla fue obtenida por Ramsey en 1928 como resultado de resolver el modelo de ahorro óptimo. Posteriormente, este modelo fue desarrollado en la teoría del crecimiento económico y ahora se conoce como el modelo de Ramsey-Kass-Kopmans [3] . Keynes ayudó a proporcionar una interpretación económica de esta regla:

“Los ahorros deberían ser suficientes para alcanzar o acercarse temporalmente al punto de saturación (“punto feliz”), pero esto no significa que debamos ahorrar todos nuestros ingresos. Cuanto más ahorramos, más rápido llegamos a la saturación, pero menos alegría obtenemos ahora mismo, por lo que tenemos que elegir entre uno y otro. El Sr. Keynes me mostró que la regla que gobierna la cantidad de ahorro requerida puede deducirse inmediatamente de estas consideraciones .

La macroeconomía moderna opera con modelos basados en micro , en los que el problema intertemporal de la elección del consumidor es similar al problema formulado por Ramsey. Es la principal forma de describir el comportamiento del consumidor, por lo que la regla de Keynes-Ramsey en sus diversas modificaciones es un elemento indispensable que describe la dinámica en los modelos.

Formulación matemática de la regla en tiempo continuo

La regla de Keynes-Ramsey se formula como la siguiente relación entre la tasa de crecimiento del consumo (per cápita) y la diferencia entre la tasa de interés actual del mercado y el coeficiente de preferencia intertemporal:

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )

, donde es la derivada temporal del consumo per cápita, respectivamente, es la tasa de crecimiento (continua) del consumo per cápita por unidad de tiempo;

{\ estilo de visualización {\ punto {c}}}

{\frac {\dot {c}}{c}}

{\theta }=-{\frac {u''(c)}{u'(c)))c=-{\frac {MU'(c)}{MU(c)))c= -{\frac{dMU/MU}{dc/c}}

- la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo, tomada con el signo opuesto (la medida relativa de la aversión al riesgo de Arrow-Pratt );

r_{t}

- la tasa de interés de rendimiento de los activos (también se supone que es igual a la tasa de interés de la deuda);

\rho

es el coeficiente de preferencia intertemporal del consumidor, .

{\ estilo de visualización \ rho > 0, \ rho = constante}

Antecedentes y derivación de la regla en tiempo continuo

En primer lugar, el modelo asume que el individuo promedio maximiza una función de utilidad intertemporal de la siguiente forma

U=\int_{0}^{{\infty}}u(c_{t})e^{{-\rho t}}dt

, dónde está el consumo del individuo en este momento ; es el coeficiente de preferencia intertemporal del consumidor, .

Connecticut}

t

\rho

{\ estilo de visualización \ rho > 0, \ rho = constante}

La maximización de la función de utilidad intertemporal se realiza teniendo en cuenta la restricción presupuestaria asociada al ingreso del individuo. La renta por unidad de tiempo se forma a partir de los salarios y la renta de los activos (ahorros) a la tasa de interés del mercado. En consecuencia, el ingreso por unidad de tiempo menos el consumo representa un aumento en los activos por unidad de tiempo. Así, la restricción presupuestaria tiene la forma de una ecuación diferencial para los activos:

{\dot {a}}=r_{t}a_{t}+w-c_{t}

En este caso, el hamiltoniano del problema de optimización será igual a

H=u(c_{t})e^{-\rho t}+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}+w-c_{t})

Las condiciones de optimalidad necesarias tienen la forma:

{\parcial H \over \parcial c_{t}}=e^{-\rho t}u'(c_{t})-\lambda _{t}=0

{\displaystyle {\dot {\lambda _{t))}=-{\parcial H \over \parcial a_{t))=-\lambda_{t}r_{t))

La primera condición se puede representar como

\ln \lambda _{t}=\ln u'(c_{t})-\rho t

Derivando esta igualdad con respecto al tiempo, obtenemos:

{\dot {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=u''(c_{t})/u''(c_{t}){\dot {c_{t} }}-\rho =-\theta {\dot {c_{t}}}/c_{t}-\rho

Teniendo en cuenta que, según la segunda condición: , finalmente obtenemos ${\displaystyle {\dot {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=-r_{t))$

{\dot {c_{t))}/c_{t}={1 \over \theta }(r_{t}-\rho )

Este resultado no cambiará si se agrega al modelo una tasa de crecimiento de la población constante y (o) una variable adicional de la que depende la función de utilidad (generalmente el "tiempo libre" de un individuo o la oferta de trabajo).

Derivación de reglas en tiempo discreto

Problema de dos periodos

El consumidor resuelve el problema de la elección intertemporal eligiendo el nivel óptimo de consumo en cada uno de los dos períodos para un nivel dado de ingreso en cada período. La función objetivo del consumidor se ve así: ${\ estilo de visualización t = 1,2}$

U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2})\to \max_{C_{1},C_{2))

donde está la función de utilidad ; — función de utilidad instantánea (período único); - el nivel de consumo en el primer y segundo período; — factor de descuento subjetivo. $U(\cdot)$ $tu(\cdot)$ ${\ estilo de visualización C_ {1}, C_ {2}}$ $\beta$

La restricción presupuestaria del consumidor se ve así:

C_{1}+{\frac {C_{2}}{1+r}}\leq Y_{1}+{\frac {Y_{2}}{1+r}}

donde está el nivel de ingreso en el primer y segundo período; - el tipo de interés del ahorro , actuando como tipo de descuento . $Y_{1},Y_{2}$ $r$

El problema se resuelve por el método de los multiplicadores de Lagrange indefinidos . Función de Lagrange para un problema con una restricción:

L=u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda {\Bigg (}C_{1}+{\frac {C_{2)){1+r)) -Y_{1}-{\frac {Y_{2}}{1+r}}{\Bigg )}\to \max _{C_{1},C_{2}}

Condiciones de optimalidad de primer orden (sin tener en cuenta la restricción presupuestaria):

u'(C_{1})+\lambda =0

\beta u'(C_{2})+\lambda {\frac {1}{1+r))=0

De aquí se sigue la regla de Keynes-Ramsey:

{\frac {u'(C_{1})}{u'(C_{2))}}=\beta (1+r)

Caso general

El problema se puede generalizar al caso de un horizonte de tiempo finito o infinito.

U=\sum_{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})\to \max_{C_{t))

\sum _{t=0}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}\leq \sum _{t=0}^{T} {\frac{Y_{t}}{(1+r)^{t}}}

El problema se resuelve por el método de los multiplicadores de Lagrange indefinidos . Función de Lagrange para un problema con una restricción:

L=\sum_{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})+\lambda {\Bigg (}\sum_{t=0}^{T} {\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=0}^{T}{\frac {Y_{t}}{(1+r)^ {t}}}{\Bigg )}\to \max _{C_{t}}

Condiciones de optimalidad de primer orden (sin tener en cuenta la restricción presupuestaria):

\beta ^{t}u'(C_{t})+\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t))}=0,\quad t=0,1,. .,T

Al dividir las condiciones para los momentos de tiempo vecinos, obtenemos la regla de Keynes-Ramsey en forma general:

{\frac {u'(C_{t})}{u'(C_{t+1))}}=\beta (1+r)

Véase también

Notas

↑ Blanchard, Olivier Jean; Fisher, Stanley . Conferencias sobre Macroeconomía (indefinida) . - Cambridge: MIT Press , 1989. - págs. 41-43. - ISBN 0-262-02283-4 .
↑ Intriligator, Michael D. Optimización matemática y teoría económica . - Acantilados de Englewood: Prentice-Hall , 1971. - P. 308-311 . — ISBN 0-13-561753-7 .
↑ Ramsey, FP Una teoría matemática del ahorro // Economic Journal : diario. - 1928. - Vol. 38 , núm. 152 . - Pág. 543-559 .
↑ Ramsey (1928 , pág. 545)