Categoría preaditiva

Una categoría preaditiva es una categoría enriquecida sobre la categoría de grupos abelianos , es decir, una categoría tal que para cualquiera de sus objetos , el conjunto tiene la estructura de un grupo abeliano por adición, mientras que la composición de morfismos es bilineal : $A$ $B$ ${\text{Hom}}(A,B)$

(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f

g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}

La categoría preaditiva a veces también se llama la -categoría [1] . $AB$

Ejemplos

Categoría de grupos abelianos . ${\mathbf {Ab))$
Categorías de módulos R izquierdos y módulos R derechos . $R{\mbox{-}}{\mathbf {Modificación}}$ ${\mathbf {Modificación}}{\mbox{-}}R$

Funtores aditivos

Se dice que un funtor es aditivo si cada aplicación es un homomorfismo de grupos abelianos. $T\dos puntos A\a B$ $T\dos puntos {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$

Si y son categorías y es preaditiva, entonces la categoría de los funtores también es preaditiva, ya que las transformaciones naturales se pueden sumar de forma natural. Si también es preaditiva, entonces la categoría de funtores aditivos y transformaciones naturales también es preaditiva. ${\ matemática C}$ ${\ matemática D}$ ${\ matemática D}$ $Función({\mathcal C},{\mathcal D})$ ${\ matemática C}$ $Añadir({\mathcal C},{\mathcal D})$

El último ejemplo lleva a una generalización de la noción de módulo : si es preaditivo, entonces la categoría se llama categoría de módulos sobre . Si es una categoría preaditiva de un objeto - anillos , esto lleva a la definición habitual de (izquierda) -módulos. ${\ matemática C}$ $Mod({\mathcal C}):=Agregar({\mathcal C},{\mathbf {Ab)))$ ${\ matemática C}$ ${\ matemática C}$ $R$ $R$

$Ab{\mbox{-}}{\mathbf {Gato}}$ es la categoría de todas las categorías pequeñas cuyos morfismos son funtores aditivos. $AB$

Ocasiones especiales

El anillo es una categoría preaditiva de un objeto.
Una categoría aditiva es una categoría pre-aditiva con productos finitos .
Una categoría abeliana es una categoría aditiva en la que hay núcleos y co- núcleos , y cada monomorfismo y cada epimorfismo es normal .

Notas

↑ McLane S. Capítulo 1. Categorías, funtores y transformaciones naturales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Literatura

Nicolás Popescu ; 1973; Categorías Abelianas con Aplicaciones a Anillos y Módulos; prensa académica inc. — ISBN 0-12-561550-7 .