Base de topología

La base de una topología ( base de un espacio topológico, base de una topología, base abierta ) es una familia de subconjuntos abiertos de un espacio topológico , tal que cualquier conjunto abierto es representable como una unión de elementos de esta familia. $X$ $X$

A menudo, la base de la topología se presenta para introducir la topología. Por ejemplo, en un espacio métrico , la topología se define en términos de la base formada por todas las bolas abiertas.

Definición

Una familia de conjuntos abiertos de un espacio topológico se denomina base de una topología (o un espacio topológico) si cualquier conjunto abierto puede representarse como una unión de elementos de la familia . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Una familia de conjuntos abiertos en un espacio topológico es una base si y sólo si para cada punto del espacio y su vecindad existe un conjunto de tal que . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ $X$ $tu$ $V$ ${\mathfrak {B}}$ $x\in V\subconjunto U$

Peso de un espacio topológico

La cardinalidad mínima de todas las bases del espacio se denomina peso del espacio topológico . El peso espacial generalmente se denota por . $X$ $X$ $X$ $w(X)$

Propiedades

Para cada base , existe un subconjunto , que es la base y tiene una cardinalidad igual al peso del espacio. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Si el peso del espacio no es más que contable (es decir, tiene una base contable), entonces se llama espacio con el segundo axioma de contabilidad . $X$ $X$ $X$
Hay un conjunto de poder denso en todas partes en el espacio de peso . $\tau$ $\leqslant \tau$

Variaciones y generalizaciones

La base local del espacio en un punto (la base del punto ) es una familia de vecindades del punto con la siguiente propiedad: para cualquier vecindad del punto , existe un elemento tal que . $X$ $x\en X$ $X$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $Buey$ $X$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \subconjunto O_x$
- La cardinalidad mínima de todas las bases locales del espacio en un punto se llama el carácter del espacio en el punto y se denota por . $X$ $x\en X$ $X$ $X$ $\ chi (x, X)$
- El supremo de los caracteres del espacio en todos los puntos se llama el carácter del espacio y se denota por . $X$ $x\en X$ $X$ $\ chi (X)$
- Los espacios que tienen una base local contable en cada punto se denominan espacios con el primer axioma de contabilidad .
- Una familia de conjuntos abiertos en X es una base si y solo si, para cada punto , la subfamilia de todos los elementos que contienen el punto es la base local del punto . ${\mathfrak {B}}$ $x\en X$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$
Un sistema de vecindad es una familia tal que es la base local del espacio en un punto para cada . $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\en X}}$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $X$ $x\en X$
Una prebase es una familia de subconjuntos abiertos de un espacio topológico tal que el conjunto de todos los conjuntos que son la intersección de un número finito de elementos forma la base del espacio . $Y$ $X$ $Y$ $X$
Una base cerrada es una familia de todas las adiciones a elementos de alguna base.
$\Pi$ -base ( base de celosía ) es una familia de subconjuntos de espacio abiertos no vacíos, de modo que cualquier conjunto no vacío abierto contiene un conjunto de , es decir, Hausdorff denso en el espacio . Cualquier base es una base. Lo contrario no es cierto, por ejemplo, en la compactación de Stone-Cech del conjunto de números naturales, la familia de subconjuntos de un punto del conjunto es una base, pero no es una base. ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $\Pi$ $\beta \mathbb{N}$ $\matemáticas {N}$ $\Pi$
Una pseudobase es una familia de subconjuntos abiertos tales que la intersección de todos sus elementos que contienen un punto fijo coincide con este punto. Existe sólo en espacios T 1 . Un ejemplo de un espacio con una pseudobase contable que no tiene una base contable es el espacio de secuencias de ceros y unos con una topología discreta (la pseudobase es un conjunto formado por todas las secuencias con un valor fijo en alguna posición).

Definición de una topología utilizando un sistema base, prebase y de vecindad

Una familia de subconjuntos de un conjunto arbitrario es la base de alguna topología si y solo si cumple las siguientes condiciones: ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Cada punto pertenece a algún conjunto de la familia . $x\en X$ $tu$ ${\mathfrak {B}}$
Para cualquier conjunto y cualquier punto , existe un conjunto tal que . $U,V\en {\mathfrak {B}}$ $x\in U\cap V$ $W\en {\mathfrak {B}}$ $x\in W\subconjunto U\cap V$

En este caso, es una base de la topología en la que los conjuntos son abiertos si y solo si pueden representarse como una unión de algunos subconjuntos de . Tal topología se llama la topología generada por la base .

{\mathfrak {B}}

X

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

Para que una familia de subconjuntos de un conjunto arbitrario sea una base previa de alguna topología en , es necesario y suficiente que se cumpla la condición anterior 1. Además, en esta topología están abiertos aquellos y solo aquellos conjuntos que pueden representarse como una unión de intersecciones finitas de algunos subconjuntos de . Tal topología se denomina topología generada por prebase . Esta es la topología más pequeña que contiene la familia . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

Un conjunto de familias de subconjuntos de un conjunto arbitrario es un sistema de vecindades de alguna topología si y solo si satisface las siguientes condiciones: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\en X}}$ $X$ $X$

Para cada uno la familia no es vacía y para cualquier . $x\en X$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\en ti$ $U\en {\mathfrak {B}}(x)$
Para todos hay tal que . $y\en U\en {\mathfrak {B}}(x)$ $V\en {\mathfrak {B}}(y)$ $V\subconjunto U$
Para cualquier conjunto , existe , tal que . $V,W\en {\mathfrak {B}}(x)$ $U\en {\mathfrak {B}}(x)$ $U\subconjunto V\cap W$

En este caso, es un sistema de vecindad de la topología sobre , que consta de todos los subconjuntos representables como una unión de subfamilias de la familia . Tal topología se denomina topología generada por el sistema de vecindad .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\en X}}

X

\bigcup_{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\en X}}

Ejemplos

La base de cualquier espacio topológico es la familia de todos sus conjuntos abiertos.
Una topología discreta tiene como base la familia de todos sus subconjuntos de un punto .
Si y son espacios topológicos con bases de topologías y , entonces la topología sobre el producto cartesiano viene dada por la base $X$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\veces Y$

\mathfrak{B}_{X\veces Y} = \{U\veces V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

En este caso, la topología on no dependerá de qué bases de los espacios X e Y se utilicen para definirla. Tal topología se llama topología (estándar) del producto cartesiano de espacios topológicos .

X\veces Y

La topología del espacio de los números reales viene dada por el sistema de todos los intervalos , que forma la base de esta topología. De manera similar, la topología de un espacio viene dada por la base de barras abiertas , y esta topología obviamente coincide con la topología estándar del producto directo de espacios. $\matemáticas {R}$ $(a, b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\veces(a_2,b_2)\veces\puntos\veces(a_n,b_n)$
Una topología ordenada generalmente se define como una topología generada por un conjunto de conjuntos de intervalos abiertos.
Una topología métrica generalmente se define como una topología generada por un conjunto de bolas abiertas dadas por una métrica particular .

Véase también

Teorema de Yesenin-Volpin
axioma de unión
Parte inferior de la base

Literatura

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Introducción a la teoría general de conjuntos y funciones. - M.-L., 1948.
Actas de Uryson PS sobre topología y otras áreas de las matemáticas. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introducción a la teoría de la dimensión. Introducción a la teoría de los espacios topológicos ya la teoría general de la dimensión. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Fundamentos de topología general en problemas y ejercicios. - M., 1974.
Bourbaki N. Topología general. Estructuras básicas / Per. del francés - M., 1968.
Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Topología general. — M .: Nauka, 1968.

Enlaces

Base de la topología - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . A. A. Maltsev