Axioma de Arquímedes

El axioma de Arquímedes , o el principio de Arquímedes , o la propiedad de Arquímedes es una oración matemática que lleva el nombre del antiguo matemático griego Arquímedes . Por primera vez esta propuesta fue formulada por Eudoxo de Cnido en su teoría de las razones de cantidades (el concepto de cantidad de Eudoxo abarca tanto números como cantidades continuas: segmentos , áreas , volúmenes [1] ):

Si hay dos cantidades, y , y menos que , entonces tomando el sumando suficientes veces, puedes superar : $a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

Por ejemplo, para los segmentos, el axioma de Arquímedes suena así: si se dan dos segmentos, al dejar de lado el más pequeño suficientes veces, puedes cubrir el más grande.

El enunciado del axioma de Arquímedes parece trivial, pero su verdadero significado radica en la ausencia de cantidades infinitesimales y/o infinitamente grandes . Entonces, este axioma no se cumple en el análisis no estándar : el conjunto de números hiperreales contiene cantidades infinitesimales e infinitamente grandes . Tales elementos pueden no satisfacer el axioma de Arquímedes. Otros ejemplos son posibles .

Las estructuras matemáticas para las que se cumple la propiedad de Arquímedes se denominan arquimedianas , por ejemplo, el campo de Arquímedes y el grupo de Arquímedes , y aquellas para las que no se cumple se denominan no arquimedianas .

Historia

El axioma , conocido en matemáticas como el axioma de Arquímedes, en realidad fue enunciado por primera vez por Eudoxo de Cnido . Esta proposición jugó un papel clave en su teoría de las relaciones, que fue esencialmente la primera teoría axiomática del número real . Por eso, también se le llama el axioma de Eudoxo .

La teoría de Eudoxo nos ha llegado en la exposición de Euclides ( Los Principios , Libro V).

Se dice que los valores están relacionados entre sí si tomados en múltiplos pueden superarse entre sí."Comienzos", libro V, definición 4 [2]

El axioma de Eudoxo-Arquímedes subyace en el llamado "método de agotamiento" , inventado por Eudoxo, un método para encontrar las áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitudes de arco utilizando un análogo de las sumas modernas de Riemann y Darboux . Con la ayuda de su método, Eudoxo probó rigurosamente varios teoremas sobre el cálculo de áreas y volúmenes. Sin embargo, Arquímedes logró los mejores resultados en esta área. Usando el método Eudoxus, encontró una serie de nuevas áreas y volúmenes. Al mismo tiempo, como en la antigua Grecia no existía el concepto de secuencia , el límite de la secuencia , Arquímedes tuvo que repetir el razonamiento de nuevo en cada problema específico. Así, en sus escritos, Arquímedes formuló y utilizó el axioma de Eudoxo-Arquímedes. Al mismo tiempo, el propio Arquímedes en la introducción a su " Cuadratura de la parábola " destaca que este axioma fue utilizado por sus predecesores y jugó un papel importante en las obras de Eudoxo [3] .

En análisis matemático

El principio de Arquímedes es bastante importante tanto teóricamente como en términos de uso específico en mediciones y cálculos [4] .

Basado en la integridad de los números reales , el principio de Arquímedes generalmente requiere demostración, mientras que con otras axiomas a menudo se incluye en la lista de axiomas.

Formulación: (por cada número real positivo hay un número natural que es mayor que él) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Prueba: Suponga lo contrario, por lo tanto , es el límite superior. Por el teorema del borde , elegimos , entonces , pero , para el cual , que contradice la existencia de , y por lo tanto no está acotado desde arriba, que a su vez es equivalente a . H.t.d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $a$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\existe k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\en \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\matemáticas {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Multiplicando por un cierto número de normalización, obtenemos esencialmente la desigualdad indicada al comienzo del artículo. ${\ estilo de visualización a, n}$

Definición moderna

Un grupo ordenado linealmente

Sea un grupo linealmente ordenado y sean elementos positivos de . Se dice que un elemento es infinitamente pequeño con respecto al elemento (a es infinitamente grande con respecto a ) si para cualquier número natural la desigualdad $GRAMO$ $a$ $b$ $GRAMO$ $a$ $b$ $b$ $a$ $norte$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

Un grupo se llama arquimediano si se cumple para él el axioma de Arquímedes: no hay par de elementos en tal que - sea infinitesimal con respecto a . $GRAMO$ $GRAMO$ $a$ $b$ $a$ $b$

Campo ordenado

Sea un campo ordenado . Dado que cualquier campo ordenado es un grupo linealmente ordenado, todas las definiciones anteriores de elementos infinitamente pequeños e infinitamente grandes, así como la formulación del axioma de Arquímedes, siguen siendo válidas. Sin embargo, aquí hay una serie de características específicas, por lo que se simplifica la formulación del axioma de Arquímedes. $k$

Sean elementos positivos de . $a, b$ $k$

un elemento es infinitesimal con respecto a un elemento si y solo si es infinitesimal con respecto a (tales elementos se llaman simplemente infinitesimales ) $a$ $b$ $un/b$ $1\in K$
un elemento es infinitamente grande con respecto a otro elemento si y solo si es infinitamente grande con respecto a (tales elementos se llaman simplemente infinitamente grandes ) $a$ $b$ $un/b$ $1\in K$

Los elementos infinitesimales e infinitesimales se combinan bajo el nombre de elementos infinitesimales .

En consecuencia, se simplifica la formulación del axioma de Arquímedes: un campo ordenado tiene la propiedad de Arquímedes si no contiene elementos infinitamente pequeños o, de manera equivalente, si no contiene elementos infinitamente grandes. Si ampliamos aquí la definición de un elemento infinitamente pequeño (o infinitamente grande), entonces obtenemos la siguiente formulación del axioma de Arquímedes: $k$

Para cada elemento de campo hay un elemento natural tal que $a$ $k$ $norte$ $n>a$

O, la redacción equivalente:

Por cada elemento positivo del campo, hay un elemento natural tal que $\varepsilon >0$ $norte$ $1/n<\varepsilon$

Ejemplos y contraejemplos

El conjunto de los números reales

El ejemplo más famoso de un campo de Arquímedes es el conjunto de números reales . Si consideramos el conjunto de los números reales como un complemento del conjunto de los números racionales (por ejemplo, con la ayuda de las secciones de Dedekind ), entonces la propiedad de Arquímedes para los números reales se deriva del hecho de que los números racionales la tienen. En uno de los sistemas de axiomas de los números reales, propuesto por Hilbert [5] , el conjunto de los números reales se define como el máximo cuerpo ordenado de Arquímedes, es decir, un cuerpo ordenado que satisface el axioma de Arquímedes (es decir, no no contienen elementos infinitesimales), que no se pueden extender a campos ordenados de Arquímedes más grandes.

Campo ordenado no arquimediano

Como ejemplo (o más bien, contraejemplo) de un cuerpo ordenado para el que no se cumple el axioma de Arquímedes, considere el conjunto de funciones racionales con coeficientes reales, es decir, funciones de la forma

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

Con respecto a las operaciones habituales de suma y multiplicación, este conjunto forma un campo . Introducimos una relación de orden en el conjunto de funciones racionales de la siguiente manera. Sean y dos funciones racionales. Decimos que si y sólo si en alguna vecindad la diferencia tiene signo estrictamente positivo. Esta condición también se puede formular en términos de los coeficientes de las funciones racionales y . Escribimos la diferencia como polinomio + fracción racional propia: $F$ $gramo$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $F$ $gramo$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\ldots +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}} },

donde el último término del lado derecho es una fracción racional propia, es decir, el grado del numerador es menor que el grado del denominador: . También supondremos que el coeficiente principal del denominador es . Entonces si y sólo si , o la parte del polinomio está ausente y . Es fácil comprobar la exactitud de esta definición de orden (debe comprobarse tanto que la relación introducida es de hecho una relación de orden, como que esta relación es consistente con las operaciones de campo). $k<m$ $b_{m}$ $una$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Así, el conjunto de funciones racionales forma un campo ordenado. Tenga en cuenta que es una extensión del campo de los números reales, pero el axioma de Arquímedes no se cumple aquí (ver el final de la sección anterior). De hecho, considere los elementos y . Evidentemente, sea cual sea el número natural , la desigualdad se produce: $una$ $X$ $norte$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

En otras palabras, es un elemento infinitamente grande del campo con respecto a la unidad. Así, el axioma de Arquímedes no se cumple en este campo. $X$

Véase también

Notas

↑ Historia de las matemáticas / Ed. A. P. Yushkevich. - M. : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Euclides. Comienzos / Traducción de D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Editorial Principal de Literatura Técnica y Teórica, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas / Per. IG Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Análisis matemático, parte 1. - Moscú: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 p. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. Fundamentos de Geometría. - M. - L .: Editorial Principal de Literatura Técnica y Teórica, 1948. - P. 87.

Literatura

Historia de las matemáticas / Ed. A. P. Yushkevich. - M. : "Nauka", 2003. - T. 1.
Euclides. Comienzos / Traducción de D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Editorial Principal de Literatura Técnica y Teórica, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. Fundamentos de Geometría. - M. - L .: Editorial Principal de Literatura Técnica y Teórica, 1948.
Bourbaki, N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas / Per. IG Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1963.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Gran catalán