Sección Dedekind

La sección de Dedekind es una de las formas de construir números reales a partir de números racionales [1] .

El conjunto de los números reales se define como el conjunto de las secciones de Dedekind. Sobre ellos es posible continuar las operaciones de suma y multiplicación .

Historia

El método fue introducido en 1872 por Richard Dedekind [2] [3] .

Una construcción similar para cantidades geométricas está implícitamente presente en los Elementos de Euclides , a saber, en el Libro V, la definición 5 dice lo siguiente:

Dicen que las cantidades están en la misma razón de la primera a la segunda y de la tercera a la cuarta, si los múltiplos iguales de la primera y la tercera son a la vez mayores, a la vez iguales o a la vez menores que los múltiplos iguales de la segunda y la cuarta. , cada uno para cualquier multiplicidad, si los tomamos en el orden apropiado (9, 10, 11, 12). [4] .

Ideas similares fueron publicadas en 1849 por el matemático francés Joseph Bertrand [5] .

Definición

Una sección de Dedekind es una partición del conjunto de números racionales en dos subconjuntos (inferior o izquierdo) y (superior o derecho) tales que [6] :

  1. para cualquiera y ,
  2. no tiene un elemento más pequeño.

Además, se denota la sección de Dedekind (aunque bastaría con indicar uno de estos conjuntos, el segundo lo complementa con ).

Si un conjunto tiene un elemento más grande, entonces la sección de Dedekind se puede identificar con este número racional. De lo contrario, el corte define un número irracional que es mayor que todos los números del conjunto y menor que todos los números del conjunto . Habiendo definido las operaciones aritméticas y el orden sobre el conjunto de secciones obtenido , obtenemos un campo de números reales , y cada sección determina uno y solo un número real.

Ejemplo

Un número real corresponde a una sección de Dedekind, para lo cual [7] :

un montón de un montón de

Intuitivamente, uno puede imaginar que para determinar , cortamos el conjunto en dos partes: todos los números a la izquierda de , y todos los números a la derecha de ; respectivamente, es igual al menor límite inferior del conjunto .

Ordenación de las secciones de Dedekind

Introduzcamos un orden en el conjunto de secciones. Primero, determinamos que dos secciones y son iguales si (entonces y ). A continuación, defina [8] :

, si y al mismo tiempo

Es fácil comprobar que se cumplen todos los requisitos del orden lineal . Además, para los números racionales, el nuevo orden es el mismo que el anterior.

De esta definición de orden se sigue:

Teorema de aproximación . Cualquier número real se puede aproximar mediante números racionales con cierta precisión, es decir, se puede encerrar en un intervalo con límites racionales de una longitud arbitrariamente pequeña [9] .

Aritmética de las secciones de Dedekind

Para definir operaciones aritméticas con secciones, se puede utilizar el teorema de aproximación formulado en la sección anterior.

Sean números reales. De acuerdo con el teorema de aproximación, se pueden especificar intervalos de aproximación con límites racionales para ellos:

Entonces la suma [10] es un número real contenido en todos los intervalos de la forma La suma de los números reales siempre existe, está definida unívocamente y para los números racionales coincide con la definición anterior de la suma. La resta siempre es posible, por tanto, con respecto a la operación de suma así definida, los números reales forman un grupo aditivo .

De igual forma, se define la multiplicación de números reales que, junto con la suma, convierte al conjunto de números reales en un cuerpo ordenado [11] .

Variaciones y generalizaciones

Ver también: Finalización de Dedekind-McNeil

Las secciones de Dedekind se pueden definir de manera similar no solo para números racionales, sino también en cualquier otro conjunto ordenado linealmente . Ver Completitud (teoría del orden) . Se puede demostrar que aplicando este procedimiento al conjunto de números reales nuevamente se obtiene

Se utiliza un análogo de las secciones de Dedekind para construir números surrealistas [12] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Enciclopedia de Matemáticas, 1979 .
  2. ↑ Richard Dedekind . Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ( en línea ).
  3. ↑ Richard Dedekind. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen / per. con él. S. O. Shatunovsky . - 4. - Matesis , 1923.
  4. ↑ Comienzos de Euclides . Traducción del griego y comentarios de D. D. Mordukhai-Boltovsky con participación editorial de I. N. Veselovsky y M. Ya. Vygodsky . M.-L.: GTTI, 1949-1951. Libros I-VI en www.math.ru Archivado el 6 de octubre de 2015 en Wayback Machine o en mccme.ru Archivado el 11 de agosto de 2011 en Wayback Machine ; Libros VII-X en www.math.ru Archivado el 6 de octubre de 2015 en Wayback Machine o en mccme.ru Archivado el 18 de septiembre de 2011 en Wayback Machine ; Libros XI-XIV en www.math.ru Archivado el 6 de octubre de 2015 en Wayback Machine o en mccme.ru Archivado el 20 de septiembre de 2011 en Wayback Machine
  5. ↑ Bertrand, José. Traité d'arithmétique . - 1849. - "Un número inconmensurable puede definirse simplemente indicando cómo la magnitud que expresa puede formarse con la ayuda de una unidad. A continuación, asumimos que esta definición consiste en una indicación de qué números conmensurables son mayores o menores que uno dado. Archivado el 17 de enero de 2021 en Wayback Machine .
  6. ↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 17-18.
  7. ↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 18, 36.
  8. ↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 19-21.
  9. ↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 22-24.
  10. ↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 28-31.
  11. ↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 31-34.
  12. ↑ Ver la conferencia de Conway, aproximadamente 0:16:30 a 0:19:30 . Consultado el 11 de octubre de 2020. Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2020.

Literatura