Número hiperreal

Números hiperreales ( números hiperreales ) - una extensión del campo de los números reales , que contiene números mayores que todos los representable en forma de una suma finita . $\matemáticas {R}$ $1+1+\cdots +1$

El término "número hiperreal" ( ing. hyper-real number ) fue propuesto por el matemático estadounidense Edwin Hewitt en 1948 [1] . La teoría del campo de los números hiperreales como extensión del campo de los números reales fue publicada en la década de 1960 por Abraham Robinson , quien la denominó " análisis no estándar ". Robinson también demostró la consistencia de esta teoría (más precisamente, redujo el problema a la consistencia de los números reales).

La teoría de los números hiperreales da un enfoque riguroso al cálculo de cantidades infinitamente grandes e infinitesimales , que en este caso, a diferencia del análisis estándar, no son variables, sino constantes, es decir, números. En el análisis no estándar, sobre bases modernas, se rehabilita la idea que se remonta a Leibniz y sus seguidores sobre la existencia de cantidades infinitesimales reales distintas de cero, idea que en el desarrollo histórico del análisis matemático fue sustituida por el concepto de un límite variable . Es curioso que las ideas sobre cantidades reales infinitamente grandes e infinitamente pequeñas se conservaran en los libros de texto de física y otras ciencias naturales, donde a menudo se encuentran frases como “que haya un elemento de volumen (infinitamente pequeño)…” [2] . $dV$

Formal definición

El conjunto de los números hiperreales es un campo ordenado no arquimediano , una extensión del campo de los números reales , que contiene números mayores que todos representable como una suma finita . Cada uno de estos números es infinitamente grande y su recíproco es infinitamente pequeño . ${\ estilo de visualización ^ {*} \ mathbb {R}}$ $\matemáticas {R}$ $1+1+\cdots +1$

Los números hiperreales satisfacen el principio de transferencia, una variante rigurosa del principio de continuidad heurístico de Leibniz . El principio de transferencia establece que las declaraciones en lógica de primer orden acerca de también son verdaderas para . Por ejemplo, la regla de la conmutatividad de la suma es válida para los números hiperreales del mismo modo que para los reales. El principio de transferencia para ultrapoderes es una consecuencia del teorema de Los (1955). Las propiedades de las operaciones aritméticas con números hiperreales son básicamente las mismas que las de los números reales. $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización ^ {*} \ mathbb {R}}$ $x+y=y+x$

El estudio de las cantidades infinitesimales se remonta al antiguo matemático griego Eudoxo de Cnido , quien utilizó el método de agotamiento para calcularlas . En 1961, A. Robinson demostró que el campo de los números reales se puede extender a un conjunto ( un campo no arquimediano ordenado ) que contiene elementos infinitesimales e infinitamente grandes en el sentido que Leibniz y otros matemáticos del siglo XVIII dieron a estos conceptos [ 3] .

La aplicación de números hiperreales y, en particular, el principio de transferencia, en problemas de análisis matemático se denomina análisis no estándar . Una de las aplicaciones inmediatas es definir los conceptos básicos de análisis, como la derivada y la integral directamente, sin utilizar el paso al límite o construcciones lógicas complejas. Así, la definición de la derivada de la analítica se vuelve puramente aritmética: $f(x)$

f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)

para infinitesimal , donde significa la parte estándar del número , que conecta cada número hiperreal finito con el único número real que está infinitamente cerca de él. $\Delta x$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {st}}$

Campo de números hiperreales

El campo de los números hiperreales consta de tres partes [4] : ${\ estilo de visualización ^ {*} \ mathbb {R}}$

números infinitos negativos,
números finales
números infinitos positivos.

Los números finitos, a su vez, se pueden dividir en dos categorías: reales ordinarios y no estándar . Cada número finito no estándar se puede representar de forma única como: donde es un número real y es infinitesimal (positivo o negativo). Cuando , se obtiene un conjunto de infinitesimales. Así, cada número real resulta estar, por así decirlo, envuelto en un aura ( mónada ) de sus contrapartes hipermateriales, infinitamente cerca de él [5] . $a+\epsilon,$ $a$ $\epsilon$ $un=0$

Estructura algebraica

Supongamos que es el espacio de Tikhonov , que también se llama -espacio, y es el álgebra de funciones reales continuas en . Sea un ideal maximal en . Entonces el anillo del cociente , es, por definición, un álgebra real y puede ser considerado como un conjunto linealmente ordenado . Si estrictamente contiene , entonces se le llama ideal hiperreal (en la terminología de Hewitt, 1948), y campo hiperreal. Tenga en cuenta que esta suposición no significa que la potencia del campo sea mayor que la del campo , en realidad pueden tener la misma potencia. $X$ $T_{3.5}$ $C(X)$ $X$ $METRO$ $C(X)$ ${\ estilo de visualización A = C (X) / M}$ $F$ $\matemáticas {R}$ $METRO$ $F$ $F$ $\matemáticas {R}$

Un caso especial importante es si el espacio es un espacio discreto , en este caso se puede identificar con la cardinalidad del conjunto , y con el álgebra real de funciones de . Los campos hiperreales que obtenemos en este caso se denominan ultrapoderes y son idénticos a los ultrapoderes construidos mediante ultrafiltros libres en la topología general . $X$ $X$ $\kappa$ $C(X)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {\ kappa}}$ $\kappa$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$

Notas

↑ Hewitt, Edwin (1948). “Anillos de funciones continuas de valor real. YO". Trans. amer Matemáticas. Soc . 64 :45-99. DOI : 10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9 .
↑ Véase, por ejemplo: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Curso de física. M.: Escuela Superior, 1999, S. 128 y ss.
↑ Panov V.F. Matemáticas antiguas y jóvenes. - Ed. 2º, corregido. - M. : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 pág. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Uspenski, 1987 , pág. veinte.
↑ Uspenski, 1987 , pág. 19-21.

Literatura

Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Análisis infinitesimal . - Novosibirsk: Instituto de Matemáticas, 2006.
Davis M. Análisis no estándar aplicado. — M .: Mir, 1980.
Uspensky V. A. ¿Qué es el análisis no estándar? — M .: Nauka, 1987.

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