Axiomas de peano

Los axiomas de Peano son uno de los sistemas de axiomas para números naturales , introducidos en 1889 por el matemático italiano Giuseppe Peano .

Los axiomas de Peano hicieron posible formalizar la aritmética , probar muchas propiedades de los números naturales y enteros , y también usar números enteros para construir teorías formales de números racionales y reales . De forma abreviada, los axiomas de Peano se han utilizado en una serie de desarrollos metamatemáticos , incluida la solución de cuestiones fundamentales sobre la coherencia y la integridad de la teoría de números .

Peano originalmente postuló nueve axiomas. El primero afirma la existencia de al menos un elemento del conjunto de números. Los siguientes cuatro son declaraciones generales sobre la igualdad , que reflejan la lógica interna de la axiomática y están excluidas de la composición moderna de axiomas como obvias. Los siguientes tres son axiomas en el lenguaje de la lógica de primer orden sobre la expresión de números naturales en términos de la propiedad fundamental de la función de consecuencia . El noveno y último axioma en el lenguaje de la lógica de segundo orden se refiere al principio de inducción matemática sobre una serie de números naturales. La aritmética de Peano es un sistema que se obtiene reemplazando el axioma de inducción por un sistema de axiomas en el lenguaje de la lógica de primer orden y añadiendo símbolos para las operaciones de suma y multiplicación.

Formulaciones

Verbales

1 es un número natural;
El número que sigue al natural también es natural;
1 no sigue a ningún número natural;
Si un número natural sigue directamente tanto al número como al número , entonces y son idénticos; $a$ $b$ $C$ $b$ $C$
(Axioma de inducción ). Si cualquier suposición se prueba para 1 (base de inducción) y si la suposición de que es verdadera para un número natural se sigue de que es verdadera para el siguiente número natural (suposición inductiva), entonces esta suposición es verdadera para todos los números naturales. $norte$ $norte$

Matemático

La formulación matemática utiliza la función de seguimiento , que hace coincidir un número con el número que le sigue. $S(x)$ $X$

$1\in\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\cuña \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\grande (}P(n){\grande)))$ .

También es posible otra forma de escritura:

$1\in\mathbb{N}$ ;
$S\colon {\mathbb {N}}\to {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\existe S^{{-1}}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ subconjunto M$ .

El último enunciado se puede formular de la siguiente manera: si un determinado enunciado es verdadero para (base de la inducción) y para cualquiera de la validez sigue la validez de y (supuesto inductivo), entonces es verdadero para cualquier natural . $PAGS$ $n=1$ $norte$ $P(n)$ ${\ Displaystyle PAG (S (n))}$ $P(n)$ $norte$

Formalización de la aritmética

La formalización de la aritmética incluye los axiomas de Peano y también introduce las operaciones de suma y multiplicación utilizando los siguientes axiomas:

${\ estilo de visualización x + 1 = S (x)}$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1))$ .

Sobre la incompletud

Como implica el teorema de incompletitud de Gödel , hay afirmaciones sobre los números naturales que no se pueden probar ni refutar a partir de los axiomas de Peano. Algunos de estos enunciados tienen una formulación bastante simple, como el teorema de Goodstein o el teorema de Paris-Harrington .

Categórico

El hecho fundamental es que estos axiomas determinan esencialmente de manera única los números naturales (la naturaleza categórica del sistema de axiomas de Peano). Es decir, se puede probar (ver [1] , así como una breve prueba [2] ) que si y son dos modelos para el sistema de los axiomas de Peano, entonces son necesariamente isomorfos , es decir, existe una aplicación invertible ( biyección ) tal que y para todos . $(\matemáticas N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb norte$

Por lo tanto, basta fijar como un modelo específico cualquiera del conjunto de los números naturales. $\matemáticas {N}$

Por ejemplo, del axioma de inducción se sigue que es posible pasar a cualquier número natural en un número finito de pasos (utilizando la función ). Para la demostración, elegiremos como predicado el mismo enunciado “se puede ir a un número desde un número finito de pasos usando la función ”. Correcto _ Esto también es cierto , ya que se puede obtener a partir de una sola aplicación de la operación a un número, que, por suposición , se puede obtener a partir de un número finito de aplicaciones . Según el axioma de inducción . $una$ $S$ $P(n)$ $norte$ $una$ $S$ $P(1)$ ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )))$ ${\ estilo de visualización S (n)}$ $norte$ $S$ $P(n)$ $una$ $S$ ${\ estilo de visualización \ para todos n (P (n))}$

Historia

La necesidad de formalizar la aritmética no se tomó en serio hasta el trabajo de Hermann Grassmann , quien demostró en la década de 1860 que muchos hechos aritméticos podían establecerse a partir de hechos más elementales sobre la función de implicación y la inducción matemática. En 1881, Charles Sanders Peirce publicó su axiomatización de la aritmética de los números naturales. La definición formal de los números naturales fue formulada en 1889 por el matemático italiano Peano , basándose en las construcciones anteriores de Grassmann, en su libro Los fundamentos de la aritmética, expresados de una manera nueva ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). En 1888 (un año antes que Peano), Dedekind [3] publicó un sistema axiomático casi exactamente similar . La consistencia de la aritmética de Peano fue demostrada en 1936 Gentzen transfinita al ordinal . Como se deduce del segundo teorema de incompletitud de Gödel , esta demostración no puede llevarse a cabo mediante la aritmética de Peano misma. $\epsilon_{0}.$

Notas

↑ Feferman S. Sistemas numéricos. Fundamentos de Álgebra y Análisis. - 1971. - 445 págs.
↑ Prueba de la unicidad de los números naturales . Fecha de acceso: 4 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 22 de agosto de 2011. (indefinido)
↑ N. Bourbaki . Fundamentos de las matemáticas. Lógicas. Teoría de conjuntos // Ensayos sobre la historia de las matemáticas / I. G. Bashmakova (traducido del francés). - M. : Editorial de literatura extranjera, 1963. - S. 37. - 292 p. — (Elementos de las matemáticas).

Literatura

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Boca, Turín, 1889.
Peano, G. Formulaire de mathematiques. Tomo II - No. 2. Bocca, Torino, 1897.
Arnold IV Aritmética teórica . M.: Uchpedgiz, 1938.