Un automorfismo interno es un tipo de automorfismo de grupo definido en términos de un elemento fijo del grupo, llamado elemento conjugado . Formalmente, si G es un grupo y a es un elemento del grupo G , entonces el automorfismo interno definido por el elemento a es el mapeo f de G en sí mismo, definido para todo x de G por la fórmula
F ( X ) = un −1 xa .Aquí usamos la convención de que los elementos del grupo actúan a la derecha.
La operación x ↦ a −1 xa se denomina conjugación (ver también “ Clase de conjugación ”) y suele ser de interés separar los casos en los que la conjugación por medio de un elemento deja otro elemento sin cambios del caso en que la conjugación transforma un elemento en otro elemento.
De hecho, decir que la conjugación de x por a deja x sin cambios es equivalente a decir que a y x conmutan:
un −1 xa = x ⇔ hacha = xa .Así, la existencia y el número de automorfismos internos que no son idénticos sirve como medida de conmutatividad en un grupo.
Un automorfismo de un grupo G es interno si y solo si se extiende en cualquier grupo que contenga G [1] .
La expresión a −1 xa a menudo se escribe como la potencia de x a . Esta notación se usa porque se cumple la regla ( x a ) b = x ab .
Cualquier automorfismo interno es, por supuesto, un automorfismo del grupo G , es decir, una aplicación biyectiva de G a G. También es un homomorfismo , lo que significa ( xy ) a = x a y a .
La composición de dos automorfismos internos es nuevamente un automorfismo interno (como se mencionó anteriormente - ( x a ) b = x ab ) y el conjunto de todos los automorfismos internos del grupo G es en sí mismo un grupo (el grupo de automorfismos internos del grupo G ) y se denota por Inn( G ) .
Inn( G ) es un subgrupo normal del grupo completo de automorfismos Aut( G ) de G . El grupo de automorfismos exterior Out( G ) es el grupo de factores
Salida( G ) ≡ Aut( G )/Posada( G )El grupo de automorfismos externos refleja, en cierto sentido, cuántos automorfismos de G son internos. Cualquier automorfismo no interno da un elemento no trivial del grupo Out( G ) , pero diferentes automorfismos no internos pueden dar los mismos elementos del grupo Out( G ) .
Asociando un elemento a ∈ G con un automorfismo interno f ( x ) = x a en el grupo Inn( G ) como arriba, obtenemos un isomorfismo entre los grupos de factores G /Z( G ) (donde Z( G ) es el centro de G ) y el grupo de automorfismos internos:
G /Z( G ) = Inn( G ) .Esto es una consecuencia del primer teorema del isomorfismo , ya que Z( G ) es exactamente el conjunto de aquellos elementos de G que dan el mapa de identidad cuando se usan para crear un automorfismo interno (la conjugación no cambia nada).
Un resultado de Wolfgang Gaschütz dice que si un grupo G es finito y es un grupo p no abeliano , entonces G tiene un automorfismo de orden p hasta cierto punto que no es interno.
Un problema abierto es si cualquier p - grupo G no abeliano tiene un automorfismo de orden p . La pregunta tiene una respuesta positiva si G cumple una de las siguientes condiciones:
El grupo de automorfismos internos Inn( G ) es trivial (es decir, consta solo de un elemento neutro ) si y solo si el grupo G es abeliano .
Es fácil demostrar que Inn( G ) puede ser un grupo cíclico solo cuando es trivial.
Los automorfismos internos pueden constituir todo el grupo de automorfismos. Un grupo para el cual todos los automorfismos son internos y cuyo centro es trivial se llama completo . Esto se cumple para todos los grupos simétricos con n elementos cuando n no es igual a 2 o 6. Si n = 6 , el grupo simétrico tiene una única clase de automorfismo externo no trivial, y para n = 2 el grupo simétrico, aunque no tiene automorfismos externos, es abeliano, lo que da un centro no trivial, y por lo tanto el grupo no puede ser completo.
Deje que el grupo G coincida con su subgrupo derivado (en terminología inglesa, el grupo perfecto ). Si el grupo de sus automorfismos internos Inn( G ) es simple , entonces tal grupo G se llama cuasi- simple .
Dado un anillo R y una unidad u de R , la función f ( x ) = u −1 xu es un automorfismo del anillo R . Los automorfismos de un anillo de este tipo se denominan automorfismos internos del anillo R. Estos automorfismos forman un subgrupo normal del grupo de automorfismos del anillo R.
Un automorfismo de álgebra de Lie 𝔊 se llama automorfismo interno si tiene la forma Ad g , donde Ad es la función conjugada de , y g es un elemento del grupo de Lie cuyo álgebra es igual a 𝔊 . La notación para un automorfismo interno de álgebras de Lie es compatible con la notación para grupos en el sentido de que un automorfismo interno de un grupo de Lie genera un automorfismo interno único del álgebra de Lie correspondiente.