Proyector (matemáticas)

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En álgebra lineal y análisis funcional , un operador lineal que actúa en un espacio lineal se llama proyector (y también un operador de proyección y un operador de proyección ) si . Tal operador se llama idempotente . $PAGS$ $P^{2}=P$

A pesar de su abstracción, esta definición generaliza la idea de construir una proyección geométrica .

La siguiente propiedad de un proyector se puede usar como definición: un operador lineal es un proyector si y solo si existen tales subespacios y espacios que se expanden en su suma directa y, además, para cualquier par de elementos que tengamos . Los subespacios y son, respectivamente , la imagen y el núcleo del proyector , y se denotan por y . $P:X a X$ $tu$ $V$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización u \ en U, \ v \ en V}$ $P(u+v)=u$ $tu$ $V$ $PAGS$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

En el caso general, la descomposición de un espacio lineal en una suma directa no es única. Por tanto, para un subespacio del espacio , por lo general, existen muchos proyectores cuya imagen o núcleo coincide con . $V$ $X$ $V$

Propiedades de los operadores de proyección

Sea el operador idéntico . Si es un proyector, entonces también es un proyector, además, y . $yo$ $PAGS$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
En un espacio normado de dimensión finita , todos los operadores de proyección son continuos .
Para un espacio de Banach , el operador de proyección será continuo si su imagen es cerrada , y el núcleo del proyector también será cerrado. Así, el proyector continuo define la descomposición del espacio en una suma directa de subespacios cerrados: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
Los valores propios de un proyector solo pueden ser 0 y 1. Los espacios propios correspondientes de un proyector son su núcleo y su imagen.

Combinaciones de proyectores

Sean y proyectores definidos sobre el espacio vectorial , y proyectados sobre los subespacios y , respectivamente. Después $P_1$ $P_2$ $X$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ es un proyector en el subespacio si y solo si . $M_{1}\o más M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ es un proyector si y solo si . se proyecta sobre el subespacio . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Si , entonces es un proyector sobre el subespacio . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $PAGS$ $M_{1}\cap M_{2}$

Ejemplos

La proyección ortogonal (ver más abajo ) de puntos en el espacio sobre un plano viene dada por la matriz $(x, y, z)$ $R^{3}$ $oxi$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Actúa sobre los puntos de la siguiente manera:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

El proyector no ortogonal más simple realiza una proyección oblicua de los puntos del plano sobre una línea recta . viene dada por la matriz:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.

Es fácil demostrar que esto es de hecho un proyector:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatriz}}=P.

La proyección dada por es ortogonal si y sólo si . $PAGS$ $\alpha=0$

Proyector orto

Si el espacio es Hilbert , es decir, tiene un producto interior (y por tanto el concepto de ortogonalidad ), entonces podemos introducir el concepto de proyector ortogonal. $X$

Un proyector ortogonal es un caso especial de proyector cuando dichos subespacios y son ortogonales entre sí, es decir, cuando , o , o . En este caso, la proyección de un elemento es el elemento del espacio más próximo a él . $tu$ $V$ $\para todo u\en U,\para todo v\en V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\en X$ $tu$

Literatura

Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita = Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 págs.