Proporción (matemáticas)

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La proporción ( del latín proportio “proporcionalidad, uniformidad de las partes; una cierta proporción de partes entre sí”) es la igualdad de las proporciones de dos [o más] pares de números y , es decir , igualdad de la forma , o, en otras notaciones, igualdad (a menudo se lee como: " se aplica a de la misma manera que se aplica a "). En este caso, y se denominan extremos , y - miembros medios de la proporción. Esta proporción también se llama geométrica , no debe confundirse con proporciones aritméticas y armónicas . $un, b$ $discos compactos$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $a$ $b$ $C$ $d$ $a$ $d$ $b$ $C$

Propiedades básicas de las proporciones

Inversión de proporción. si , entonces $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Multiplicando los miembros extremos de la proporción con los del medio (en cruz). Si , entonces . En otras palabras, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. Esta propiedad se llama propiedad básica de la proporción. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Permutación de términos medios y extremos. si , entonces $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(permutación de los miembros medios de la proporción),

\ {\frac db}={\frac ca}

(permutación de los miembros extremos de la proporción).

Proporciones crecientes y decrecientes. si , entonces $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac{a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(aumento de la proporción),

\ {\dfrac{ab}{b}}={\dfrac{cd}{d}}

(reducción de la proporción).

Hacer proporciones sumando y restando. si , entonces $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(elaboración de una proporción por adición),

\ {\dfrac{ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(sacar una proporción por resta). Prueba (proporcionar por suma y resta)

Probaremos por adición. Expresamos a través de los restantes términos de la proporción: . Después: $C$ $c={\frac {anuncio}{b))$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+ d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

Para la resta, la prueba es similar. ■

Historia

La primera definición conocida de proporciones iguales se dio como una igualdad de restas sucesivas [1] , en lenguaje moderno esto se puede expresar como una igualdad de fracciones continuas para proporciones de magnitudes. [2] Más tarde, Eudoxo de Cnido simplificó la definición, la igualdad de proporciones fue definida por él como el cumplimiento simultáneo de uno de los tres pares de proporciones. ${\ estilo de visualización a: b = c: d}$

$m\cdot a>n\cdot b$ y , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ y , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ y $m\cdot c<n\cdot d$

para cualquier par de números naturales y . Esta definición se da en los Elementos de Euclides . $metro$ $norte$

Con el advenimiento de los números reales, no hubo necesidad de una teoría especial de las proporciones; los matemáticos antiguos no consideraban las proporciones de longitud como números. La definición de Eudoxo, dada en una forma algo más abstracta, se usó más tarde en la definición de Dedekind de los números reales en términos de cortes .

Definiciones relacionadas

Proporción aritmética

La igualdad de dos diferencias a veces se denomina proporción aritmética [3] . $ab=cd$

Proporción armónica

Si la proporción geométrica tiene los miembros medios iguales, y el último es la diferencia entre el primero y el medio, tal proporción se llama armónica :. En este caso, la descomposición en la suma de dos términos se denomina división armónica o sección áurea [4] . $a:b=b:(ab)$ $a$ $b$ $abdominales$

Problemas para la regla triple

El contenido de la tarea para una regla triple simple incluye dos cantidades relacionadas por una dependencia proporcional, mientras que se dan dos valores de una cantidad y uno de los valores correspondientes de la otra cantidad, pero es necesario para encontrar su segundo valor.

Se denominan tareas para una regla triple compleja en las que, para una serie de varias (más de dos) cantidades proporcionales, se requiere encontrar el valor de una de ellas correspondiente a otra serie de valores dados de cantidades [5] [6] .

Véase también

proporcionalidad

Notas

↑ Topeka de Aristóteles
↑ Von Fritz, Kurt . "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hippasus de Metapontum". Anales de matemáticas. - 1945. - S. 242-264.
↑ Proporciones aritméticas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ Proporción armónica // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
↑ Manual de Matemáticas Elementales . Consultado el 8 de enero de 2018. Archivado desde el original el 8 de enero de 2018. (indefinido)
↑ Resolviendo problemas en una regla triple simple. Maneras de resolver . Consultado el 8 de enero de 2018. Archivado desde el original el 8 de enero de 2018. (indefinido)

Literatura

Van der Waerden, B. L. El despertar de la ciencia. Matemáticas del Antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. / por con una meta I. N. Veselovsky. — M .: GIFML, 1959.