Lp (espacio)

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$L^{p}$ (también se encuentra la designación ; se lee "el-pe"; también - espacios de Lebesgue ) - estos son espacios de funciones medibles tales que su grado th es integrable , donde . $L_{p}$ $pags$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ es la clase más importante de los espacios de Banach . (pronunciado “el-dos”) es un ejemplo clásico de un espacio de Hilbert . $L^{2}$

Construcción

Los espacios se utilizan para construir espacios . El espacio para un espacio con medida y es el conjunto de funciones medibles definidas sobre este espacio, tal que: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

Como se desprende de las propiedades elementales de la integral de Lebesgue y la desigualdad de Minkowski , el espacio es lineal . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

En un espacio lineal, se introduce una seminorma : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

La no negatividad y la homogeneidad se derivan directamente de las propiedades de la integral de Lebesgue, y la desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular para esta seminorma [1]

A continuación, introducimos la relación de equivalencia : , si casi en todas partes . Esta relación divide el espacio en clases de equivalencia que no se cruzan, y las seminormas de dos representantes cualquiera de la misma clase coinciden. En el espacio de cociente construido (es decir, la familia de clases de equivalencia) , se puede introducir una norma igual a la seminorma de cualquier representante de esta clase. Por definición, todos los axiomas de una seminorma se conservan y, además, en virtud de la construcción anterior, también se cumple la definición positiva. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f \ sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Un espacio cociente con una norma construida sobre él, y se llama espacio o simplemente . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

La mayoría de las veces, esta construcción se entiende, pero no se menciona explícitamente, y los elementos no son las clases de funciones de equivalencia, sino las funciones mismas, definidas "hasta la medida cero". $L^{p}$

Cuando no forman un espacio normado, ya que la desigualdad del triángulo no se cumple [2] , sin embargo, forman espacios métricos . No hay operadores continuos lineales no triviales en estos espacios . $0<p<1$ $L^{p}$

Integridad

La norma on junto con la estructura lineal genera la métrica: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

y por lo tanto, es posible definir convergencia en espacios: una secuencia de funciones se llama convergente a una función si: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subconjunto L^{p}$ $f\en L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\a 0

en .

n\to\infty

Por definición, un espacio es completo cuando cualquier secuencia fundamental converge en un elemento del mismo espacio. Así es un espacio de Banach . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Espacio L²_

En el caso, la norma es generada por el producto interior . Así, junto al concepto de “longitud”, también tiene sentido aquí el concepto de “ángulo”, y por tanto conceptos relacionados, como ortogonalidad , proyección . $pag=2$

El producto escalar en el espacio se presenta de la siguiente manera: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

si las funciones consideradas son de valor complejo, o:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

si son reales. Entonces obviamente:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

es decir, la norma es generada por el producto escalar. En vista de la integridad de cualquiera , se deduce que es Hilbert . $L^{p}$ $L^{2}$

Espacio L ∞

El espacio se construye a partir del espacio de funciones medibles, acotado casi por todas partes, identificando entre sí funciones que difieren sólo en un conjunto de medida cero, y, poniendo por definición: $L^{\infty}$ ${\mathcal {L}}^{\infty}(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty}=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, donde es el supremo esencial de la función.

\mathrm {eso} \sup

$L^{\infty}$ es un espacio de Banach .

La métrica generada por la norma se llama uniforme . La convergencia generada por tal métrica también se llama: $\|\cdot \|_{\infty}$

f_{n}\a f

en , si en .

L^{\infty}

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0

n\to\infty

Propiedades

La convergencia de funciones en casi todas partes no implica convergencia en el espacio . Sea por y para , . Luego casi en todas partes. Pero _ Lo contrario tampoco es cierto. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0.1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\en L^{p}$ $f_{n}\a 0$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Si para , entonces existe una subsecuencia tal que casi en todas partes. $\|f_{n}-f\|_{p}\a 0$ $n\to\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\a f$
$L^{p}$ Las funciones en la línea real se pueden aproximar mediante funciones suaves. Sea un subconjunto de funciones infinitamente suaves. Entonces todo es denso en . $L_{C^{\infty}}^{p}(\mathbb {R},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R}),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R}),\;m)$ $L_{C^{\infty}}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R}),\;m)$ es separable para . $p<\infty$
Si es una medida finita, por ejemplo, la probabilidad de , y , entonces . En particular, es decir, una variable aleatoria con un segundo momento finito tiene un primer momento finito. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\subconjunto L^{p}$ $L^{2}\subconjunto L^{1}$

Espacios duales

Para espacios duales a (espacios de funcionales lineales sobre ) se cumple la siguiente propiedad: si , entonces es isomorfo a ( ), donde . Cualquier funcional lineal on tiene la forma: $\left(L^{p}\right)^{\star}$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\left(L^{p}\right)^{\star}$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\right)^{\star}\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

donde _ ${\tilde {g}}(x)\en L^{q}$

Debido a la simetría de la ecuación , el propio espacio es dual (salvo isomorfismo) a , y por lo tanto: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.

Este resultado también es válido para el caso , es decir . Sin embargo, y, en particular, . $pag=1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty}$ $\left(L^{\infty}\right)^{\star}\not \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}$

Espacios ℓ p

Sea , donde ser una medida contable en , es decir . Entonces si , entonces el espacio es una familia de sucesiones de la forma , tal que: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $metro$ $\matemáticas {N}$ $m(\{n\})=1,\;\para todos los n\en \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

\sum _{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}<\infty

En consecuencia, la norma en este espacio está dada por

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p }}

El espacio normado resultante se denota por . $\ell ^{p}$

Si , entonces se considera el espacio de sucesiones acotadas con la norma: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|

El espacio resultante se llama , es un ejemplo de espacio no separable . $\ell ^{\infty}$

Como en el caso general, al establecer , obtenemos un espacio de Hilbert cuya norma es generada por el producto escalar: $pag=2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty}x_{n}{\overline {y_{n))}

si las sucesiones son de valor complejo, y:

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty}x_{n}{y_{n)),

si son reales.

El espacio conjugado a , donde es isomorfo a , . para . Sin embargo $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}$

Notas

↑ La seminorma introducida de esta manera no es una norma , porque si casi en todas partes , entonces , contradice los requisitos de la norma. Para transformar un espacio con una seminorma en un espacio con una norma, es necesario "identificar" funciones que difieren entre sí solo en un conjunto de medida cero. $f(x)=0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Más precisamente, la desigualdad del triángulo inverso se cumple cuando : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\right) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\left(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p))$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág.
Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.