Espacio de funciones continuas

El espacio de funciones continuas es un espacio normado lineal , cuyos elementos son funciones continuas en el segmento (generalmente denotado , a veces o o ). La norma en este espacio se define de la siguiente manera: $[a,b]$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ $C^{0}[a,b]$ $C^{(0)}[a,b]$ ${\ estilo de visualización C (a, b)}$

||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Esta norma también se denomina norma de Chebyshev o norma uniforme , ya que la convergencia en esta norma equivale a la convergencia uniforme .

Propiedades

Si una secuencia de elementos de converge en este espacio a alguna función límite , entonces para . $x_{n}$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ $x(t)$ $x_{n}\rightrightarrows x$ $n\to\infty$
- Por lo tanto: — Espacio de Banach . ${\mathrm {C} }[a,b]$
El espacio de funciones continuas es separable : un conjunto denso numerable en todas partes forma el conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales . Este enunciado se obtiene como consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass .
La identidad del paralelogramo no se cumple , por lo que la norma no genera ningún producto escalar . ${\mathrm {C} }[a,b]$

Variaciones y generalizaciones

Asimismo, este espacio también se construye sobre regiones y sus cierres . En el caso de un conjunto no compacto, el máximo debe ser reemplazado por el límite superior mínimo .

Entonces, el espacio de funciones continuas acotadas (funciones vectoriales ) es el conjunto de todas las funciones continuas acotadas con la norma introducida en él: $C(X,Y)$ ${\ estilo de visualización x: X \ a Y}$

\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Junto con la norma de Chebyshev, a menudo se considera el espacio de funciones continuas con una norma integral:

\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

En el sentido de esta norma, el espacio de funciones continuas en un intervalo ya no forma un espacio lineal completo . Fundamental, pero no convergente en ella, es, por ejemplo, la sucesión $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n})\\nt,\quad t\in (-{\frac {1 {n)),{\frac {1}{n)))\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n))\end{casos))

Su terminación es el espacio de las funciones sumables . ${\ estilo de visualización L_ {1} [a, b]}$

Literatura

Kolmogorov A. N., Fomin S. I. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. — M .: Nauka , 2004 .
L. A. Lyusternik, V. I. Sobolev. Elementos de análisis funcional. — M .: Nauka , 1965 .
M. Reed, B. Simón. Métodos de la física matemática moderna. Vol.1 Análisis Funcional. — Nueva York Londres: Academic Press, 1973 .
Yosida K. Análisis funcional. — M .: Mir, 1967 .