Función vectorial

Una función vectorial es una función cuyos valores son vectores en un espacio vectorial de dos, tres o más dimensiones. Los argumentos de la función pueden ser: ${\ estilo de visualización \ mathbb {V}}$

una variable escalar: luego, los valores de la función vectorial se determinan en alguna curva ; ${\ estilo de visualización \ mathbb {V}}$
m variables escalares: luego, los valores de la función vectorial se forman en , en términos generales, una superficie m -dimensional; ${\ estilo de visualización \ mathbb {V}}$
variable vectorial: en este caso, la función vectorial generalmente se considera como un campo vectorial en . ${\ estilo de visualización \ mathbb {V}}$

Función vectorial de una variable escalar

Para mayor claridad, nos restringimos aún más al caso de un espacio tridimensional, aunque la extensión al caso general no es difícil. Una función vectorial de una variable escalar mapea algún intervalo de números reales en un conjunto de vectores espaciales (el intervalo también puede ser infinito). ${\ matemáticas {r}} (t)$ $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$

Habiendo elegido los vectores de coordenadas , podemos descomponer la función vectorial en tres funciones de coordenadas x ( t ), y ( t ), z ( t ): $\mathbf {\hat {i)) ,\mathbf {\hat {j)) ,\mathbf {\hat {k))$

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i)) +y(t)\mathbf {\hat {j)) +z(t)\mathbf {\hat { k}}

Considerados como radios vectores , los valores de la función vectorial forman una cierta curva en el espacio, para la cual t es un parámetro.

Se dice que una función vectorial tiene un límite en un punto si (aquí y más abajo denotamos el módulo del vector ). El límite de una función vectorial tiene las propiedades habituales: ${\ matemáticas {r}} (t)$ $\mathbf {r_{0}}$ $t=t_{0}$ $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ $|\mathbf {v} |$ $\mathbf{v}$

El límite de la suma de funciones vectoriales es igual a la suma de los límites de los términos (suponiendo que existan).
El límite del producto escalar de funciones vectoriales es igual al producto escalar de los límites de factores.
El límite del producto vectorial de funciones vectoriales es igual al producto vectorial de los límites de factores.

La continuidad de una función vectorial se define tradicionalmente.

Derivada de una función vectorial con respecto a un parámetro

Definamos la derivada de la función vectorial con respecto al parámetro: ${\ matemáticas {r}} (t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf{r}}(t)}{h}}

Si existe una derivada en un punto, se dice que la función vectorial es diferenciable en ese punto. Las funciones de coordenadas para la derivada serán . $t$ $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$

Propiedades de la derivada de una función vectorial (en todas partes se supone que existen derivadas):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ - la derivada de la suma es la suma de las derivadas
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — aquí f(t) es una función escalar diferenciable.
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - diferenciación del producto escalar .
${\frac {d}{dt))[{\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t)]=\left[{\frac {d{\mathbf {r_{1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)\right]+\left[{\mathbf {r_{1}}}(t){\ fracción {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}\right]$ — diferenciación del producto vectorial .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ fracción {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ es la diferenciación del producto mixto .

Para aplicaciones de funciones vectoriales de una variable escalar en geometría, consulte: geometría diferencial de curvas .

Función vectorial de varias variables escalares

Para mayor claridad, nos limitaremos al caso de dos variables en un espacio tridimensional. Los valores de la función vectorial (su hodógrafa ) forman, en términos generales, una superficie bidimensional, sobre la cual los argumentos u, v pueden considerarse como coordenadas internas de los puntos de la superficie. ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} (u, v)}$

En coordenadas, la ecuación se ve así: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

{\ estilo de visualización x = x (u, \ v); \ y = y (u, \ v); \ z = z (u, \ v)}

De forma similar al caso de una variable, podemos definir las derivadas de la función vectorial, que ahora serán dos: . Una sección de la superficie será no degenerada (es decir, en nuestro caso, bidimensional) si no se desvanece idénticamente sobre ella. $\frac{\parcial\mathbf{r)) {\parcial u}, \frac{\parcial\mathbf{r)) {\parcial v}$ $\left[{\frac {\parcial \mathbf {r} }{\parcial u)),{\frac {\parcial \mathbf {r} }{\parcial v))\right]$

Las curvas en esta superficie se definen convenientemente como:

u = u(t);\ v = v(t)

donde t es el parámetro de la curva. Se supone que las dependencias son diferenciables, y en la región bajo consideración, sus derivados no deben desaparecer simultáneamente. Las líneas de coordenadas juegan un papel especial , que forman una cuadrícula de coordenadas en la superficie: ${\ estilo de visualización u (t), \ v (t)}$

u=t;\v=const

- la primera línea de coordenadas.

u=const;\v=t

es la segunda línea de coordenadas.

Si no hay puntos singulares en la superficie ( no desaparece en ninguna parte), entonces exactamente dos líneas de coordenadas pasan por cada punto de la superficie. $\left[{\frac {\parcial \mathbf {r} }{\parcial u)),{\frac {\parcial \mathbf {r} }{\parcial v))\right]$

Para obtener más información sobre aplicaciones geométricas de funciones vectoriales de varias variables escalares, consulte: Teoría de superficies .

Literatura

Borisenko AI, Tarapov IE Análisis vectorial y principios del cálculo tensorial. 3ra ed. Moscú: Escuela superior, 1966.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Análisis de vectores. Nauka, 1978, 160 págs. (2ª ed. URSS, 2002)
Kochin N. E. Cálculo vectorial y los comienzos del cálculo tensorial. Archivado el 14 de noviembre de 2007 en Wayback Machine , 9.ª ed. Moscú: Nauka, 1965.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro