Espacio normado

Un espacio normado es un espacio vectorial con una norma dada en él ; uno de los principales objetos de estudio del análisis funcional .

Más precisamente, un espacio normado es un par de un espacio vectorial sobre el campo de números reales o complejos y aplicaciones tales que las siguientes propiedades se cumplen para cualquier y un escalar [1] : ${\ estilo de visualización (X, \|\ cdot \|)}$ $X$ $\|\cdot \|\dos puntos X\to \mathbb {R}$ $x,y\en X$ $\lambda$

$\|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Rightarrow x=0$ (definición positiva)
$\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ ( homogeneidad )
$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ( desigualdad triangular )

La norma es una generalización natural del concepto de longitud de un vector en el espacio euclidiano , por lo que los espacios normados son espacios vectoriales equipados con la capacidad de determinar la longitud de un vector.

Un espacio semi-normativo es un par , donde es un espacio vectorial y es una semi- norma en . ${\ estilo de visualización \ izquierda (X, p \ derecha)}$ $X$ $pags$ $X$

Métrica

En un espacio normado, una función define (induce) una métrica . La métrica así definida, además de las propiedades habituales de una métrica, también tiene las siguientes propiedades: $d(x,y)=\|xy\|$

$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ (cambio de invariancia),
$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)$ (uniformidad positiva).

No todo espacio vectorial métrico puede tener una norma.

Si el espacio es completo por la métrica inducida , entonces un espacio normado es, por definición, un espacio de Banach . No todos los espacios normados son Banach, pero todos los espacios normados tienen una terminación para Banach. $X$

Estructura topológica

Para cualquier espacio vectorial semi-normado, es posible especificar la distancia entre dos vectores y como . Tal espacio semi-normado con distancia definida de esta manera se llama espacio métrico semi-normado , en el que podemos definir conceptos tales como continuidad y convergencia . De manera más abstracta, cualquier espacio vectorial semi-normativo es un espacio vectorial topológico y, por lo tanto, lleva la estructura topológica generada por la semi-norma. $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ $\left\Vert {\mathbf {u}}-{\mathbf {v}}\right\Vert$

De particular interés son los espacios normados completos , llamados espacios de Banach . Cualquier espacio vectorial normado se encuentra como un subespacio denso dentro de un espacio de Banach, y este espacio de Banach está determinado de manera única por el espacio y se llama la terminación del espacio . $V$ $V$ $V$

Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son topológicamente equivalentes, ya que generan la misma topología. Y dado que cualquier espacio euclidiano es completo, podemos concluir que todos los espacios vectoriales de dimensión finita son espacios de Banach. Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y solo si la bola unitaria es compacta , lo que puede ser si y solo si es localmente compacta . $V$ $B=\{x\dos puntos \left\Vert x\right\Vert \leqslant 1\}$ $V$

La topología de un vector semi-normado tiene varias propiedades interesantes. Tomando un sistema de vecindad alrededor de , es posible construir todos los demás sistemas de vecindad como: ${\mathcal {N}}\left(0\right)$ ${\ estilo de visualización 0}$

{\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N} }\izquierda(0\derecha)\derecha\}

mediante el uso

x+N:=\left\{x+n{\bar {n}}\in N\right\}

Además, existe una base de vecindad para , que consta de conjuntos absorbentes y convexos . Dado que esta propiedad es muy útil en el análisis funcional , las generalizaciones de espacios vectoriales normados con esta propiedad se estudian como espacios localmente convexos . ${\ estilo de visualización 0}$

Mapeos lineales y espacios duales

Las aplicaciones más importantes entre dos espacios vectoriales normados son aplicaciones lineales continuas . Los espacios vectoriales normados con tales asignaciones forman la categoría .

La norma es una función continua en su espacio vectorial. Todas las asignaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita también son continuas.

Una isometría entre dos espacios vectoriales normados es una aplicación lineal que conserva la norma (es decir, para todos los vectores ). Las isometrías son siempre continuas e inyectivas . Una isometría sobreyectiva entre espacios vectoriales normados y se denomina isomorfismo isométrico . Los espacios vectoriales normados isométricamente isomorfos pueden considerarse iguales para casi cualquier propósito. $F$ $\left\Vert f\left({\mathbf {v}}\right)\right\Vert =\left\Vert {\mathbf {v}}\right\Vert$ $\mathbf{v}$ $V$ $W$

Hablando de espacios vectoriales normados, debemos mencionar los espacios duales . El espacio dual de un espacio vectorial normado es el espacio de todas las aplicaciones lineales continuas desde el campo principal (el campo de los números complejos o reales), y tales aplicaciones lineales se denominan funcionales . La norma del funcional se define como: $V'$ $V$ $V$ $\varphi$

\left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v} :\left\ Vert \mathbf {v} \right\Vert =1

La introducción de tal norma se convierte en un espacio vectorial normado. Un resultado importante sobre funcionales lineales continuos en espacios vectoriales normados es el teorema de Hahn-Banach . $V'$

Espacios normados como cociente del espacio de espacios semi-normados

Las definiciones de muchos espacios normados (como el espacio de Banach ) incluyen una seminorma definida en un espacio vectorial, y luego un espacio normado se define como un espacio cociente por un subespacio de elementos cuya seminorma es cero. Por ejemplo, en el caso de espacios $L_{p}$ , una función definida como:

\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int \left\vert f\left(x\right)\right\vert ^{p}\;dx\right)^{ \frac{1}{p}}

es una seminorma en el espacio vectorial de todas las funciones cuya integral de Lebesgue (a la derecha) está definida y es finita.

Sin embargo, la seminorma es cero para todas las funciones cuyo soporte tiene medida de Lebesgue cero . Estas funciones forman un subespacio que se "tacha", lo que las hace equivalentes a la función nula.

Productos finitos de espacios

Dados espacios semi-normados con semi-normas , podemos definir el producto de los espacios como $norte$ $X_{yo}$ $Pi}$

x{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\prod_{{i=1}}^{n}x_{i}

con suma vectorial definida como

\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots,y_{n}\right){\stackrel {{\mathrm {def}}}{ =}}\izquierda(x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}\derecha),

y multiplicación escalar definida como

\alpha \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right){\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots,\ alfa x_{n}\derecha).

Definamos una nueva función $pags$

p:X\mapsto {\mathbb {R}}

cómo

p:\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\to \sum_{{i=1}}^{{n}}p_{i}\left(x_{i}\ Correcto),

que es una seminorma en . Una función será una norma si y sólo si todas son normas. $X$ $pags$ $Pi}$

Véase también

Los espacios localmente convexos son generalizaciones de espacios vectoriales semi-normados
Espacio estrictamente normado
Espacio uniformemente convexo

Notas

↑ Kerin S. G. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1972.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro