Línea de newton

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La recta de Newton es una recta que une los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero.

Teorema

Si en un cuadrilátero dos pares de lados opuestos no son paralelos, entonces los dos puntos medios de sus diagonales se encuentran en una línea recta que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos de intersección de estos lados opuestos. Esta línea recta se llama línea recta de Newton (se muestra como una línea gruesa en la figura).

Redacción equivalente:

Si una línea recta que no pasa por los vértices de un triángulo corta sus lados en puntos respectivamente , entonces los puntos medios de los segmentos son colineales . $A B C$ ${\ estilo de visualización BC, CA, AB}$ $A_{1},B_{1},C_{1}$ $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$

Comentarios

El teorema se puede deducir del teorema de Menelao .
En la segunda formulación, uno puede notar que las líneas son iguales. Forman una configuración llamada cuadrilátero completo . La línea en la que se encuentran los puntos medios de estos segmentos se llama la línea de Newton del cuadrilátero. $AB,BC,CA,A_{1}B_{1}$

Si cuatro líneas tocan un círculo, entonces el centro de este círculo se encuentra en la misma línea de Newton. Este enunciado se llama teorema de Newton .

Propiedades

La recta de Newton es perpendicular a la recta de Auber .
En la línea de Newton también se encuentra el punto de intersección de dos líneas medias que conectan los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo ( la primera y la segunda línea media del cuadrilátero ).
El teorema de Anna , llamado así por el matemático francés Pierre Léon Anne ( fr. Pierre-Léon Anne , 1806–1850), establece que en cualquiercuadrilátero que no sea paralelogramo, la línea de Newton es el lugar geométrico de los puntosque tienen la propiedad: $A B C D$ $O$ $S(\triángulo AOB)+S(\triángulo COD)=S(\triángulo BOC)+S(\triángulo DOA)$ ,

donde significa el área orientada [1] .

{\ estilo de visualización S (\ triángulo AOB)}

{\ estilo de visualización \ triángulo AOB}

Nota 1. Si el punto se encuentra dentro del cuadrilátero , entonces, por ejemplo, significará simplemente el área del triángulo. $O$ $A B C D$ ${\ estilo de visualización S (\ triángulo AOB)}$
Observación 2. Por el teorema de Newton, la recta de Newton del cuadrilátero circunscrito pasa por el centro P de su circunferencia inscrita. Para el centro P del círculo inscrito del cuadrilátero , el teorema de Anna es obvio, ya que en el cuadrilátero circunscrito las sumas de los lados opuestos son iguales, y las alturas de los cuatro triángulos en el teorema de Anna con un vértice común P , en el que el cuadrilátero se divide por el punto P , son iguales e iguales al radio de la circunferencia inscrita del cuadrilátero.

Fórmula

Si las fórmulas de las rectas de un cuadrilátero en coordenadas cartesianas tienen la forma

a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,

entonces la recta de Newton que le corresponde está dada por la ecuación

\det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2)),

donde son matrices de tamaño en las que $D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})$ ${\ estilo de visualización 4 \ veces 4,}$

d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{ 2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},

d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\ cuádruple i={\overline {1,4}}.

Línea de Newton-Gauss

La recta de Newton-Gauss es una recta que une los puntos medios de las tres diagonales de un cuadrilátero completo .

Los puntos medios de las dos diagonales de un cuadrilátero convexo , que no tiene más de dos lados paralelos, son diferentes y por lo tanto definen una línea recta (línea de Newton ). Si los lados de tal cuadrilátero continúan para formar un cuadrilátero completo , las diagonales del cuadrilátero siguen siendo las diagonales de todo el cuadrilátero, y la línea de Newton del cuadrilátero se llama la línea de Newton-Gauss del cuadrilátero completo.

Véase también

Notas

↑ Colección de artículos. Educación matemática. Tercera serie. Problema 11 . — Litros, 2015-12-02. - S. 65-66. — 177 pág. — ISBN 9785457931350 .

Literatura

Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .