Matriz pseudo-inversa

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Una matriz pseudo-inversa es una generalización del concepto de matriz inversa en álgebra lineal . La pseudo-inversa de una matriz se denota por . $A$ $un ^ +$

El concepto de operadores integradores pseudoinversos fue introducido por primera vez en 1903 por Fredholm . La más conocida es la pseudoconversión de Moore-Penrose, que fue descrita de forma independiente por Eliakim Moore [1] en 1920 y Roger Penrose [2] en 1955 ; la afirmación de que existe una matriz pseudoinversa y es única para cualquier matriz sobre los números reales y complejos se denomina teorema de Moore-Penrose .

Una inversa generalizada esuna pseudo-inversión que satisface condiciones más estrictas . La pseudo-inversión puede entenderse como la solución del problema de mejor aproximación (por el método de mínimos cuadrados con la variante de regularización limitante) para el correspondiente sistema de ecuaciones lineales . La matriz pseudo-inversa se puede calcular utilizando la descomposición en valores singulares de la matriz.

Definición

$un ^ +$ se denomina matriz pseudo-inversa para una matriz si cumple los siguientes criterios: $A$

$AA^+A = A$ ;
$A^+AA^+ = A^+$ ( es una inversión débil en un semigrupo multiplicativo); $un ^ +$
$(AA^+)^* = AA^+$ (esto quiere decir que es una matriz hermitiana ); $AA^+$
$(A^+A)^* = A^+A$ ( también es una matriz hermítica). $A^+A$

Aquí está la matriz conjugada hermítica M (para matrices sobre el campo de los números reales ). $M^*$ $M^* = M^T$

Existe una forma equivalente de especificar una matriz pseudo-inversa en términos del límite de inversas ( regularización de Tikhonov ):

A^+ = \lim_{\delta \to +0} (A^* A + \delta I)^{-1} A^* = \lim_{\delta \to +0} A^* (AA^* + \delta I)^{-1}

donde es la matriz identidad. Este límite existe aunque no esté definido. $yo$ $(AA^*)^{-1}$ $(A^*A)^{-1}$

Propiedades

La pseudo -inversión es involutiva (es decir, esta operación es inversa a sí misma): $(A^+)^+ = A$ .
La pseudo-inversión conmuta con transposición, conjugación y conjugación hermitiana : $(A^T)^+ = (A^+)^T$ , , .
$(\overline{A})^+ = \overline{A^+}$
$(A^*)^+ = (A^+)^*$
El producto pseudoinverso de una matriz y un escalar es igual al producto correspondiente de una matriz y su recíproco : $A$ $\alfa$ $un ^ +$ $\alfa^{-1}$ $(\alfa A)^+ = \alfa^{-1} A^+$ , para . $\alfa \neq 0$
Si ya se conoce la matriz pseudo-inversa de , se puede usar para calcular : $A^*A$ $un ^ +$ $A^+ = (A^*A)^+A^*$ .
Del mismo modo, si ya se conoce la matriz : $(AA^*)^+$ $A^+ = A^*(AA^*)^+$ .

Ocasiones especiales

Si las columnas de una matriz son linealmente dependientes , entonces la matriz es invertible. En este caso, la matriz pseudo-inversa viene dada por la fórmula: $A$ $un ^ * un$

A^+ = (A^* A)^{-1} A^*

Si las columnas son linealmente independientes (lo cual es cierto para matrices cuadradas no singulares), entonces la pseudoinversión es la misma que la inversión:

A^+ = A^{-1}

Si y son tales que el producto está definido y: $A$ $B$ $AB$

ya sea , $A^* A = yo$
ya sea , $BB^* = yo$
las columnas son linealmente independientes y las filas son linealmente independientes, $A$ $B$

después

(AB)^+ = B^+ A^+

La pseudo-reversión se puede aplicar tanto a escalares como a vectores. Esto implica que se tratan como matrices de la dimensión apropiada. El pseudo-inverso de un escalar es cero si es cero, y el inverso de lo contrario: $X$ $X$ $X$

x^+ = \left\{\begin{matriz} 0, & x=0; \\ x^{-1}, & x \ne 0. \end{matriz}\right.

El pseudo-inverso para el vector cero es el vector cero transpuesto. El pseudo-inverso para un vector distinto de cero es el vector transpuesto conjugado dividido por el cuadrado de su longitud:

x^+ = \left\{\begin{matriz} 0^T, & x = 0; \\ {x^* \sobre x^* x}, & x \ne 0. \end{matriz}\right.

Para probarlo, basta comprobar que estas cantidades satisfacen la definición de pseudoinversos.

Origen

Si existe, entonces de la igualdad: $(A^*A)^{-1}$

hacha = b,

debería

A^* A x = A^* b,

(A^* A)^{-1}(A^* A) x = (A^* A)^{-1}A^* b,

x = (A^* A)^{-1}A^* b,

lo que da lugar al concepto de pseudo-reversión

A^+ = (A^* A)^{-1}A^*

Cálculo

Sea el rango de una matriz de tamaño . Entonces se puede representar como , donde B es una matriz de tamaño con columnas linealmente independientes y es una matriz de tamaño con filas linealmente independientes. Después: $k$ $A$ $m\veces n$ $A$ $A=BC$ $m \ tiempo k$ $C$ $k \ veces n$

A^+ = C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*

Si tiene un rango de línea completa, es decir , entonces se puede elegir la matriz de identidad y la fórmula se reduce a . De manera similar, si tiene un rango de columna completa, es decir, , entonces . $A$ $k = metro$ $B$ $A^+ = A^*(AA^*)^{-1}$ $A$ $k = norte$ $A^+ = (A^*A)^{-1}A^*$

La forma computacional más simple de obtener una matriz pseudo-inversa es usar una descomposición en valores singulares .

Si es una descomposición en valores singulares , entonces . Para una matriz diagonal como , la pseudoinversa se obtiene reemplazando cada elemento distinto de cero en la diagonal con su inversa. $A = U\Sigma V^*$ $A$ $A^+ = V\Sigma^+ U^*$ $\Sigma$

Existen enfoques optimizados para calcular la pseudoinversa para matrices de bloques.

A veces, el volumen de cálculos para encontrar una matriz pseudo-inversa se puede reducir si se conoce la pseudo-inversa para alguna matriz similar. En particular, si una matriz similar difiere de la inicial en una columna o fila modificada, agregada o eliminada, existen algoritmos acumulativos que pueden utilizar la relación entre matrices.

Aplicación

La pseudo-inversión está estrechamente relacionada con el método de mínimos cuadrados (LSM) para un sistema de ecuaciones lineales [3] .

En este método, el problema de resolver el sistema dado se reemplaza por el problema de minimizar la norma euclidiana al cuadrado de la discrepancia . En la práctica, LSM generalmente se usa cuando el sistema original es inconsistente, pero a continuación consideraremos el caso cuando este sistema es compatible. $A x = segundo$ $\|Hacha - b\|^2$ $A x = segundo$

La solución general de un sistema no homogéneo se puede representar como la suma de una solución particular de un sistema no homogéneo y la solución general del sistema homogéneo correspondiente . $A x = segundo$ $A x = 0$

Lema: Si existe, entonces la solución general es siempre representable como la suma de la solución pseudoinversa del sistema no homogéneo y la solución del sistema homogéneo: $(AA^*)^{-1}$ $X$

x=A^{*}(AA^{*})^{-1}b+(IA^{*}(AA^{*})^{-1}A)y.

Prueba:

$Hacha$	$=$	$AA^(AA^)^{-1}$	$b$	$+$	$A y - AA^(AA^)^{-1} A y$
$Hacha$	$=$		$b$	$+$	$Ay ay$
$Hacha$	$=$		$b$	.

Aquí el vector es arbitrario (hasta la dimensión). Los otros dos términos tienen una matriz pseudo-inversa . Reescribiéndola en la forma , traemos la expresión a la forma: $y$ $A^*(AA^*)^{-1}$ $un ^ +$

x=A^{+}b+(IA^{+}A)y.

El primer término es una solución pseudo-inversa. En términos del método de los mínimos cuadrados, es , que da la norma euclidiana mínima para el residuo. El siguiente término da una solución al sistema homogéneo , porque es el operador de proyección sobre la imagen del operador y, en consecuencia, es el operador de proyección sobre el núcleo del operador . $X$ $A x = 0$ $A^{+}A=A^{*}(AA^{*})^{-1}A$ $un^{*}$ ${\ estilo de visualización (IA^{+}A)}$ $A$

Literatura

↑ E. H. Moore: Sobre el recíproco de la matriz algebraica general. Boletín de la Sociedad Matemática Americana 26, 394-395 (1920) 7.pdf
↑ Roger Penrose: Una inversa generalizada para matrices. Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 51, 406-413 (1955)
↑ Roger Penrose: Sobre la mejor solución aproximada de ecuaciones matriciales lineales. Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 52, 17-19 (1956)
↑ Albert A.: Regresión, pseudoinversión y estimación recursiva. traducir De inglés. Moscú, "Nauka", 224 páginas (1977)
↑ Beklemishev D.V.: Capítulos adicionales de álgebra lineal. Moscú, Ciencia. (1983)