Radicales ideales

En álgebra conmutativa , el radical de un ideal I es el ideal formado por todos los elementos x tales que alguna potencia de x pertenece a I. Un ideal radical es un ideal que coincide con su propio radical.

Definición

El radical de un ideal I en un anillo conmutativo R , denotado por , se define como ${\ sqrt {yo}}$

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}

Intuitivamente, para obtener el radical de un ideal, se deben sacar raíces de todos los grados posibles de sus elementos. Una definición equivalente del radical del ideal I es la imagen inversa del radical nulo bajo el mapa de factorización. Esto también resulta ser un ideal. $RHODE ISLAND$ ${\ sqrt {yo}}$

Ejemplos

En el anillo de los números enteros, el radical del ideal principal es el ideal generado por el producto de todos los divisores primos . $(a)$ $a$
El radical de un ideal primario es simple . Si el radical de un ideal es maximal , entonces este ideal es primario (si el radical es simple, entonces el ideal no es necesariamente primario).
En cualquier anillo conmutativo para un ideal primo [1] . En particular, todo ideal primo es radical. ${\ sqrt {P^{n}}}=P$ $PAGS$

Propiedades

${\sqrt {{\sqrt {I}}}}={\sqrt {I}}$ . Además, es el ideal radical más pequeño que contiene I . ${\ sqrt {yo}}$
${\ sqrt {yo}}$ es la intersección de todos los ideales primos que contienen I . En particular, el radical nulo es la intersección de todos los ideales primos.
Un ideal es radical si y sólo si el anillo cociente por él no contiene nilpotentes no triviales .

Aplicaciones

La principal motivación para estudiar los radicales es su aparición en el famoso teorema nulo de Hilbert del álgebra conmutativa . La formulación más simple de este teorema es la siguiente: para cualquier campo algebraicamente cerrado y cualquier ideal finitamente generado en el anillo polinomial en variables sobre el campo , se cumple la siguiente igualdad: $k$ $norte$ $k$

\nombre de operador {I}(\nombre de operador {V}(J))={\raíz cuadrada J},

dónde

\nombre del operador {V}(J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}

\operatorname {I}(S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\ }.

Notas

↑ Atiyah y McDonald, 2003 , Proposición 4.2.

Literatura

Atiyah M. , McDonald I. . Introducción al álgebra conmutativa. - M. : Prensa Factorial, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David. . Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica. - Springer-Verlag, 1995. - (Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8 .