Teorema nulo de Hilbert

El teorema nulo de Hilbert ( el teorema raíz de Hilbert , en muchos idiomas, incluso a veces en ruso, a menudo usa el nombre alemán original Nullstellensatz , que se traduce como "teorema cero") es un teorema que establece una relación fundamental entre la geometría y el álgebra . El uso de esta relación es la base de la geometría algebraica .

Este teorema conecta el concepto de conjunto algebraico con el concepto de ideal en un anillo polinomial sobre un campo algebraicamente cerrado . Probado por primera vez por David Hilbert ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) y nombrado en su honor.

Redacción

Sea un campo arbitrario (por ejemplo, el campo de los números racionales ), sea una extensión algebraicamente cerrada de este campo (por ejemplo, el campo de los números complejos ). Considere un anillo polinomial en variables con coeficientes en el campo , sea un ideal en este anillo. El conjunto algebraico definido por este ideal consta de todos los puntos tales que para cualquier . El teorema cero de Hilbert establece que si algún polinomio se anula en el conjunto , es decir, si para todos , entonces existe un número natural tal que . $k$ $k$ $K[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $norte$ $k$ $yo$ ${\hbox{V}}(yo)$ $x=(x_{1},\puntos,x_{n})\en K^{n}$ $f(x)=0$ $f \ en yo$ $p\en k[x_{1},\puntos,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(yo)$ $p(x)=0$ $x\en V(I)$ $r$ $p^{r}\en yo$

Una consecuencia inmediata es la siguiente "forma débil del teorema cero de Hilbert": si es un ideal propio en el anillo , entonces no puede ser un conjunto vacío , es decir, hay un cero común para todos los polinomios del ideal dado (de hecho, de lo contrario, el polinomio tiene raíces en todas partes en , por lo tanto, su grado pertenece a ). Esta circunstancia le dio al teorema su nombre. El caso general se puede deducir de la "forma débil" utilizando el llamado truco de Rabinowitz . La suposición de que el campo es algebraicamente cerrado es esencial: los elementos de un ideal propio no tienen un cero común. $yo$ $K[x_{1},\puntos,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(yo)$ $p(x)=1$ ${\hbox{V}}(yo)$ $yo$ $k$ $(x^{2}+1)$ ${\matemáticas R}[x]$

Usando la terminología estándar del álgebra conmutativa , el teorema nulo de Hilbert se puede establecer de la siguiente manera: para todo ideal , la fórmula $j$

{\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}

donde es el radical del ideal , y es el ideal formado por todos los polinomios iguales a cero en el conjunto . ${\ sqrt {J}}$ $j$ ${\hbox{yo}}(U)$ $tu$

De esto se deduce que las operaciones y definen una correspondencia biyectiva de inversión de orden entre conjuntos algebraicos en e ideales radicales en . ${\hbox{I}}$ ${\hbox{V}}$ $K^n$ $K[x_{1},\ldots,x_{n}]$

Versión proyectiva de Nullstellensatz

También existe una correspondencia entre ideales homogéneos en un anillo polinomial y conjuntos algebraicos en un espacio proyectivo , llamado Nullstellensatz proyectivo . Sea , el conjunto de polinomios homogéneos de grado . Después $R=K[x_{1},\puntos,x_{n}]$ $R_{d}$ $d$

R_{+}=\bigoplus_{{d\geq 1}}R_{d}

se llama ideal homogéneo maximal . Como en el caso afín, introducimos la notación: para un subconjunto y un ideal homogéneo, sea $S\subseteq {\mathbb {P}}^{n}$ $yo$

{\begin{alineado}\operatorname {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\; \forall x\in S\},\\\operatorname {V}_{({\mathbb {P}}^{n}}}(I)&=\{x\in {\mathbb {P}}^ {n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{alineado}}

Recuérdese que no es una función sobre un espacio proyectivo, pero de la homogeneidad de este polinomio se sigue que el conjunto de puntos con coordenadas homogéneas , donde , está bien definido. Ahora, para un ideal homogéneo arbitrario, $F$ $X$ $f(x)=0$ $Yo\en R_{+}$

{\sqrt {I}}=\nombre del operador {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(\nombre del operador {V}_{({\mathbb {P}}^{n}} }(YO)).

Literatura

Atiyah M. , McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - M: Mir, 1972
Van der Waerden B. L. Álgebra. — M.: Nauka, 1976.
Polinomios de Prasolov VV . - M.: MTSNMO , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
Hartshorne R. Geometría algebraica. — M.: Mir, 1970
Leng S. Álgebra. — M.: Mir, 1968

Véase también

La contribución de David Hilbert a la ciencia
espacios	Espacio de Hilbert Espacio pre-Hilbert ladrillo gilberto
axiomática	axiomática de hilbert
teoremas	Teorema de Hilbert 90 Teorema de la base de Hilbert Teorema nulo de Hilbert Teorema de Hilbert-Schmidt
Operadores	Transformada de Hilbert Operador de Hilbert-Schmidt
relatividad general	Ecuaciones de Einstein-Hilbert " Hilbert y las ecuaciones del campo gravitatorio "
Otro	problemas de hilbert curva de hilbert Matriz de Hilbert Problema de Hilbert-Arnold Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert Paradoja "Gran Hotel"