Paquete Hopf

La fibración de Hopf es un ejemplo de una fibración localmente trivial de una esfera tridimensional sobre una bidimensional con un círculo de capas:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

El paquete de Hopf no es trivial. También es un ejemplo importante de un paquete principal .

Una de las formas más sencillas de definir este paquete es representar las 3 esferas como la esfera unitaria en , y las 2 esferas como la línea proyectiva compleja . Entonces la pantalla: $S^{3}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

y define el paquete de Hopf. En este caso, las fibras del haz serán las órbitas de acción libre del grupo : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

donde el círculo se representa como un conjunto de números complejos unitarios módulo:

{\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\))

Generalizaciones

De manera muy similar, una esfera de dimensiones impares se estratifica con un círculo de capas sobre . A veces, este paquete también se llama paquete de Hopf. ${\ estilo de visualización S^{2n+1}}$ $\mathbb {C} P^{n}$

También (además de " complejo ") hay versiones reales , de cuaterniones y de octavas de tales familias de paquetes. Comienzan con:

{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1))

(real),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(complejo - fibración propia de Hopf),

{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4))

(cuaternio),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(octava).

Tales haces de la esfera , para los cuales tanto la capa como la base y el espacio total son esferas, son posibles solo en los casos . La exclusividad de estos casos se debe a que la multiplicación en divisores sin cero sólo se puede definir para . $S^{n}$ ${\ estilo de visualización n \ en \ {1,3,7,15\))$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,4,8\))$

Véase también

La esfera de Riemann es una línea proyectiva compleja, la variedad base del paquete de Hopf
El grupo unitario U(1) es el grupo de estructura del paquete de Hopf
Esfera tridimensional : el espacio total de la fibración de Hopf
La esfera de Poincaré y la esfera de Bloch : el haz de Hopf en física describe la polarización de una onda transversal, el estado de un sistema cuántico de dos niveles, la distorsión relativista de la esfera celeste, etc. [1] [2]
Esfera de Milnor

Notas

↑ R. Penrose, W. Rindler. Métodos de espinores y espacio-tiempo, espinores y twistores en geometría del espacio-tiempo . - Moscú "Mir", 1988. - S. 78. (Ruso) Copia archivada (enlace inaccesible) . Fecha de acceso: 1 de febrero de 2012. Archivado desde el original el 3 de octubre de 2015. (indefinido)
↑ DN Klyshko. Fase geométrica de bayas en procesos oscilatorios // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Academia Rusa de Ciencias , 1993. - T. 163 , No. 11 . - S. 1 . (Ruso)

Paquete Hopf

Generalizaciones

Véase también

Notas

Enlaces