Distancia entre rectas

Este artículo considera dos rectas paralelas en el plano. Para líneas paralelas que no están en el mismo plano, consulte Crossing lines#distance .

La distancia entre dos líneas rectas en un plano es la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera de la línea. O entre un punto que se encuentra en una línea con otra línea paralela. En el caso de líneas que se cortan, la distancia entre ellas es cero porque la distancia mínima entre ellas es cero (en el punto de intersección); mientras que en el caso de dos líneas paralelas , es la perpendicular : la distancia desde un punto en una línea hasta la otra línea.

Fórmulas y demostraciones

Si las líneas son paralelas, entonces la distancia entre ellas es una constante, por lo que no importa qué punto se elija para medir la distancia. Dadas las ecuaciones de dos rectas paralelas verticales

y=mx+b_{1}\,

y=mx+b_{2}\,,

la distancia entre dos rectas paralelas es la distancia entre los dos puntos de intersección de estas rectas con una perpendicular

y=-x/m\,.

Esta distancia se puede encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

{\begin{casos}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{casos))

y

{\begin{casos}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{casos))

para obtener las coordenadas de los puntos de intersección. Determinar las coordenadas del punto de intersección.

\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {1}}{m^{2}+1}}\derecha)\,,

y

\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {2}}{m^{2}+1}}\derecha)\,.

Distancia entre puntos

d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({ \frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,

que puede reducirse como

d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1))}\,.

Si se conocen las ecuaciones de las líneas en el sistema de coordenadas cartesianas, se pueden escribir:

hacha+por+c_{1}=0\,

hacha+por+c_{2}=0,\,

donde la distancia entre las líneas se puede escribir como

d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).

Véase también