Variedad subriemanniana

Una variedad subriemanniana es un concepto matemático que generaliza una variedad riemanniana . La esencia de la generalización es que el producto escalar se define no en todos los espacios tangentes , sino solo en algunos de sus subespacios (generalmente de una dimensión fija).

Así, en una variedad subriemanniana, el concepto de longitud no está definido para todas las curvas , sino sólo para las llamadas curvas horizontales (aquellas que tocan el subespacio correspondiente en cada punto). La métrica intrínseca de una variedad subriemanniana que surge de este modo se denomina métrica de Carnot-Carathéodory .

Definición

Sea una variedad uniforme de dimensión , en la que se da una distribución uniforme de dimensión , es decir, en cada punto, se da un subespacio lineal del espacio tangente , que depende suavemente del punto . Los subespacios se llaman horizontales . Un campo vectorial y una curva se llaman horizontales si tocan la distribución en todos los puntos (en el caso de una curva, nos referimos a todos los puntos en los que la curva tiene una tangente ). $METRO$ $metro$ $\Delta$ $n<m$ $x\en M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $X$ $\Delta _{x}$ $METRO$ $\Delta$

Una distribución se llama completamente no integrable o completamente no holonómica si en cada punto cualquier vector del espacio tangente se puede representar como una combinación lineal de vectores de la forma $\Delta$ $x \en M$ $T_{x}M$

A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \puntos

con algunos Aquí significa el corchete de mentira de los campos vectoriales.

A,B,C,D,\puntos\en \Delta _{x}

[A, B]

Una variedad con una distribución completamente no integrable definida en ella se llama subriemanniana si cada subespacio horizontal está equipado con un producto interno g , un tensor métrico que cambia suavemente de un punto a otro. En otras palabras, una triple se llama variedad subriemanniana . $METRO$ $\Delta$ $\Delta _{x}\subconjunto T_{x}M$ $(M,\Delta,g)$

Conceptos relacionados

Teorema de Rashevsky-Chow

El teorema de Rashevsky-Chow establece que para dos puntos cualesquiera de una variedad subriemanniana conectada por trayectorias , existe una curva horizontal suave por tramos que conecta estos puntos. Este teorema fue demostrado de forma independiente por el matemático soviético P. K. Rashevsky (1938) [1] y el matemático chino Chow ( Wei-Liang Chow , 1939) [2] .

En este teorema, la condición de suavidad para una distribución completamente no holonómica puede debilitarse y reemplazarse por la condición de Lippitz [3] .

Métrica Carnot-Carathéodory

Cada variedad subriemanniana tiene una métrica definida por analogía con una variedad riemanniana mediante la fórmula

d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot \gamma }(t),{\dot \gamma }(t))))\,dt ,

donde el mínimo se toma a lo largo de todas las posibles curvas horizontales suaves por tramos que conectan los puntos xey , es decir , , , . La métrica así definida se denomina métrica de Carnot-Carathéodory . $\gamma :[0,1]\a M$ $\gamma(0)=x$ $\gamma (1)=y$ $d(x,y)$

Notas

↑ Rashevsky P. K. Sobre la conectividad de dos puntos cualesquiera de un espacio completamente no holonómico por una línea admisible. Uf. aplicación Moscú estado ped. en-ta im. K. Liebknecht. Ser. Fiz.-Mat., 3:2 (1938), 83-94
↑ Chow WL Uber Systeme von linearen parciallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Matemáticas. Ann.117 (1939), 98-105
↑ K. V. Storozhuk . El teorema de Carathéodory-Rashevsky-Chow para distribuciones no holonómicas de Lipschitz. Hermano. Matemáticas. zhurn., 54:6 (2013), 1380-1387

Literatura

Bellaiche, André & Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), geometría subriemanniana , vol. 144, Progreso en Matemáticas, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3 , < https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC >

Gromov, Mikhael (1996), Espacios de Carnot-Carathéodory vistos desde dentro , en Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Geometría sub-riemanniana , vol. 144, progr. Math., Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, p. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3 , < http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf > Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine .

Le Donne, Enrico, Apuntes de clase sobre geometría subriemanniana , < https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf >

Richard Montgomery , Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones (Estudios matemáticos y monografías, Volumen 91) , (2002) Sociedad matemática estadounidense, ISBN 0-8218-1391-9 .

Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo , Introducción a la geometría riemanniana y subriemanniana

RS Strichartz , geometría subriemanniana, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263 .