Conectividad (geometría diferencial)
Una conexión es una estructura sobre un haz liso que consiste en la elección de una "dirección horizontal" en cada punto del espacio del haz.
Más precisamente: Sea dado un paquete suave , la conexión es un subhaz del paquete tangente sobre , tal que para cada punto la proyección
aquí denota el diferencial en el punto .
La conexión permite diferenciar las secciones del haz a lo largo de la dirección.
La conectividad le permite definir una sección paralela a lo largo de una curva en la base del paquete. En particular, la conexión hace posible construir una trivialización canónica de una fibra sobre una curva (sin autointersecciones), pero es posible construir una trivialización canónica de una fibra sobre una variedad en alguna vecindad si y solo si la El tensor de curvatura de la conexión dada desaparece allí . En lenguaje físico, en términos de espacio-tiempo, esto dice que es posible introducir un marco de referencia local de Lorentz a lo largo de una curva arbitraria que no se corta a sí misma, pero no en la vecindad de un punto si el tensor de curvatura de esta vecindad es distinto de cero.
El nombre de conexión proviene del hecho de que conecta espacios tangentes en diferentes puntos de la variedad. Es la conexión que organiza la estructura del haz tangente . En pocas palabras, la conectividad le permite transferir objetos geométricos de un punto de la variedad a otro y es necesaria para comparar objetos en diferentes puntos de la variedad.
Tipos de conexión
- Una conexión afín es una conexión lineal en el haz tangente de una variedad.
- Una conexión de Levi-Civita es una conexión afín con torsión cero en una variedad riemanniana (o pseudo-riemanniana ) con respecto a la cual el tensor métrico es covariantemente constante.
