Grupo simétrico

Grupo simétrico : el grupo de todas las permutaciones de un conjunto dado (es decir, biyecciones ) con respecto a la operación de composición . $X$ $X\a X$

El grupo simétrico de un conjunto se suele denotar . Si , entonces también se denota por . Dado que para conjuntos de igual potencia ( ) sus grupos de permutación ( ) también son isomorfos , entonces para un grupo de orden finito , su grupo de permutación se identifica con . $X$ $S(X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S(X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $norte$ $S_{n}$

El elemento neutral en el grupo simétrico es la permutación de identidad . ${\ estilo de visualización \ mathrm {id} (x) = x}$

Grupos de permutación

Aunque generalmente el grupo de permutaciones (o permutaciones) se refiere al grupo simétrico en sí, a veces, especialmente en la literatura en idioma inglés, los subgrupos del grupo simétrico [1] se denominan grupos de permutación de un conjunto . En este caso, el grado del grupo se llama cardinalidad . $X$ $S(X)$ $X$

Todo grupo finito es isomorfo a algún subgrupo del grupo ( teorema de Cayley ). $GRAMO$ $S(G)$

Propiedades

El número de elementos del grupo simétrico para un conjunto finito es igual al número de permutaciones de los elementos, es decir, el factorial de potencia : . Para , el grupo simétrico no es conmutativo. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

El grupo simétrico admite la siguiente asignación : $S_{n}$

\langle \sigma_{1},\sigma_{2},\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_{i}^{2},(\sigma_{i}\ sigma_{i+1})^{3},\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i}\ {\text{si})\ |ij| >1\ángulo

Podemos suponer que permuta y . El orden máximo de elementos de grupo es la función de Landau . $\sigma_i$ $i$ $yo+1$ $S_{n}$

Los grupos son solubles , mientras que el grupo simétrico es insoluble . ${\ estilo de visualización S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n \ geqslant 5$ $S_{n}$

Un grupo simétrico es perfecto (es decir, la aplicación de la conjugación es un isomorfismo) si y solo si su orden es diferente de 2 y 6 ( teorema de Hölder ). Por si acaso, el grupo tiene un automorfismo exterior más . En virtud de esta propiedad y de la anterior para , todos los automorfismos son internos, es decir, cada automorfismo tiene la forma para algún . $n=6$ $T_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alfa(x)$ $g^{-1}xg$ $g\in S_n$

El número de clases de elementos conjugados del grupo simétrico es igual al número de particiones del número [2] . El conjunto de transposiciones es un conjunto generador . Por otro lado, todas estas transposiciones son generadas por solo dos permutaciones , por lo que el número mínimo de generadores de un grupo simétrico es dos. $S_{n}$ $norte$ $(12),(23),...,(n-1\n)$ $S_{n}$ $(12),(12...n)$

El centro del grupo simétrico es trivial para . El conmutador es el grupo alterno ; además, at es el único subgrupo normal no trivial y tiene un subgrupo normal más: el grupo cuádruple de Klein . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $Un}$ $n\neq 4$ $Un}$ $S_{n}$ $S_4$

Vistas

Cualquier subgrupo del grupo de permutación se puede representar mediante un grupo de matrices de , y cada permutación corresponde a una matriz de permutación (una matriz en la que todos los elementos de las celdas son iguales a 1 y los demás elementos son iguales a cero); por ejemplo, una permutación está representada por la siguiente matriz : $GRAMO$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\a\pi (i)$ $(yo,\pi(yo))$ ${\ estilo de visualización (231)}$ $3\veces 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Un subgrupo de tal grupo, compuesto por matrices con determinante igual a 1, es isomorfo al grupo alterno . $Un}$

Hay otras representaciones de grupos simétricos, por ejemplo, el grupo de simetría (que consta de rotaciones y reflexiones) del dodecaedro es isomorfo , mientras que el grupo de rotación del cubo es isomorfo . $S_5$ $S_4$

Notas

↑ Aigner M. Teoría combinatoria. M.: Mir, 1982. - 561 p.
↑ Secuencia OEIS A000041 _

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - M. : Factorial-Prensa, 2001.
Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentos de la teoría de grupos. - M. : Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. Parte III. Estructuras básicas. - Editorial M. = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. Teoría de grupos. - M. : Nauka, Fizmatlit, 1967.
Teoría de Postnikov M. M. Galois. — M .: Fizmatlit, 1963.