Homología simple

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Simples y complejos

Una dimensión simplex es un casco convexode puntosque no se encuentran en unsubespacio dimensional. Un símplex de dimensión 0es un punto, unsegmento de 1 dimensión, untriángulo de 2 dimensiones, untetraedro de 3 dimensiones, etc. El símplex generado por una parte de los puntosse denomina cara del símplex grande. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Luego introducimos la noción de un complejo simplicial (con énfasis en e). Un complejo es un conjunto de simples, con cada uno de los cuales el complejo incluye todas sus caras, y dos simples cualesquiera no tienen ningún punto en común o se intersecan solo a lo largo de una cara completa de alguna dimensión, y solo a lo largo de una cara. Por lo general, también requieren que cualquier punto del complejo tenga una vecindad que se cruce con, como máximo, un número finito de simples (la llamada finitud local ). $k$

Grupo de cadenas

Considere un grupo abeliano graduado con coeficientes enteros generados por los simples del complejo, los llamados. un grupo de cadenas que es una suma directa de grupos de cadenas de dimensión . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Se considera que los simples tienen una orientación, y los simples se considerarán iguales si la permutación es par y de signo contrario si es impar. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Operador de límite

Definimos el operador para tomar la cara geométrica th $i$ :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\sombrero {a_{i}}},...~a_{k}\rango$ , donde significa que se debe omitir el -ésimo vértice. ${\ sombrero {a_{i))}$ $i$

El operador de tomar una cara geométrica depende solo del símplex mismo, pero no del orden de los vértices que definen el símplex.

Para ello, basta probar que el operador de tomar la -ésima cara no cambia cuando se intercambian dos vértices (transposición). Si esta transposición no afecta , entonces esto es obvio. Si se reorganiza al -ésimo lugar, entonces tenemos (por ejemplo, ): $i$ $ai}$ $ai}$ $j$ $j<yo$

{\begin{matriz}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\ sombrero {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\sombrero {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hat {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{matriz}}

- como se esperaba (volviendo al lugar anterior, debe hacer una transposición, respectivamente, cambiar el signo la misma cantidad de veces). ${\ sombrero {a_{i))}$ ${\ estilo de visualización ij-1}$

Definamos el operador de la frontera orientada del símplex como sigue:

\parcial _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\sum (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Tomar el operador de límite reduce la dimensión en 1. Para un simplex de dimensión 0 (puntos), consideramos . Por linealidad, extendemos el operador a cualquier cadena. La propiedad principal del operador de frontera es la siguiente: $A$ $\parcial{A}=0$ $\parcial$

\parcial _{k-1}\parcial _{k}=0

La aplicación a un simplex da como resultado la eliminación de dos vértices de este último. Supongamos que . $\parcial _{k-1}\parcial _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<yo$

El símplex se incluye en el resultado de la primera acción del operador con el signo , pero dentro con el signo , ya que al quitarlo el vértice ya no estará en el -ésimo lugar, sino en el -ésimo. Estos signos son opuestos, lo que significa que será igual a cero para cualquier simplex y por linealidad, para cualquier cadena. $\langle a_{0},...~{\sombrero {a_{j}}},...~{\sombrero {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\parcial \langle {\hat {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\parcial \langle {\hat {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\ sombrero {a_{j))}$ ${\ sombrero {a_{i))}$ $i$ $(i-1)$ $\parcial _{k-1}\parcial _{k}$

Homología simplicial en complejos y poliedros

Un poliedro es una unión de poliedros.

Dividiendo los poliedros en simples, obtenemos un complejo simplicial.

La homología simplicial se introduce en complejos y poliedros de la siguiente manera:

Considere el grupo de cadenas de dimensión de los simples de nuestro complejo , denotado por . $k$ $k$ $C_{k}(K)$

Una cadena en la que el valor del operador de frontera es igual a cero (en otras palabras, ) se denomina ciclo ; denotemos su conjunto . $C$ $\parcial _{k}c=0$ $c\in \operatorname {Ker} \;\parcial _{k}$ $Z_{k}(K)$

Si para alguna cadena se cumple (en otras palabras, ), entonces la cadena se llama frontera ; el conjunto de límites se denotará por . $C'$ $c=\parcial _{k+1}c'$ $c\in \operatorname {Im} \;\parcial _{k+1}$ $C$ $B_{k}(K)$

Dado que el operador es lineal, tanto los límites como los ciclos forman subgrupos del grupo de cadenas. Del hecho de que está claro que cualquier límite es un ciclo, es decir, . $\parcial$ $\parcial \parcial =0$ $B_{k}\subconjunto Z_{k}$

Se dice que dos hebras son homólogas si difieren en un límite. Se registra (es decir, ). $x \ sim y$ $x=y+\z parcial$

El grupo de factores se denomina grupo de homología simplicial k-dimensional del complejo . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\nombre de operador {Ker} \;\parcial _{k}/\nombre de operador {Im} \;\parcial _{k+1}$

Ejemplo

Sea un complejo unidimensional que es el límite de un símplex (triángulo) bidimensional . Encontremos su homología. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , ya que no hay simples bidimensionales en el complejo. Por lo tanto Averigüemos ahora cuándo una cadena unidimensional puede ser un ciclo. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Tomemos una cadena arbitraria . Tenemos: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\parcial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Entonces _ Por lo tanto, cualquier ciclo unidimensional tiene la forma $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $C$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

significa que simplemente hay un grupo cíclico infinito . $H_{1}=Z_{1}$ $\matemáticas {Z}$

Encontremos la homología de dimensión cero. Desde entonces . De la igualdad se sigue que y difieren por la frontera. De manera similar , y se diferencian por el límite, por lo tanto, hasta el límite, cualquier cadena de dimensión cero tiene la forma . Es decir, es simplemente un grupo cíclico infinito . Si es en sí mismo un límite, es decir , entonces tenemos eso y , por lo tanto , . $\parcial _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\parcial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\matemáticas {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\parcial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb{Z}$

Entonces, para el límite del símplex bidimensional . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

Algunas propiedades de la homología

Si se define la homología de un complejo , entonces también se consideran como la homología del poliedro correspondiente a ese complejo. $k$ $|K|$

Sin embargo, debe probarse la independencia de los grupos de homología de la elección de la triangulación.

Se puede probar que un homomorfismo corresponde a una aplicación continua de poliedros , y esta correspondencia, como dicen, es funcional , es decir, una composición de aplicaciones continuas corresponde a una composición de homomorfismos de grupos de homología , y una aplicación idéntica corresponde a un homomorfismo idéntico . $f:|K|\a |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\a H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Si el complejo consta de un número finito de simples, entonces el grupo de homología tendrá un número finito de generadores.

En este caso, se representa como una suma directa de varias instancias del grupo de números enteros (su número, es decir, el rango del grupo de homología se llama número de Betti ) y grupos cíclicos finitos donde cada uno es un divisor (estos números se denominan coeficientes de torsión ). El número de Betti y los coeficientes de torsión se determinan de forma única. $\matemáticas {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _ {a_ {k}}$ $ai}$ $a_{i-1}$

Inicialmente , A. Poincaré solo los introdujo para caracterizar propiedades topológicas.

E. Noether mostró la importancia de la transición al estudio de los propios grupos de homología.

Literatura

Pontryagin L. S. Fundamentos de topología combinatoria. — M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Fundamentos de topología algebraica. - M. : Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curso de topología homotópica. — M .: Nauka, 1989