Volumen simple

El volumen simplicial es un invariante topológico definido para variedades cerradas . Considerado por primera vez por Gromov . El volumen simplicial de una variedad generalmente se denota por . $METRO$ ${\ estilo de visualización \|M\|}$

Definición

Sea una variedad cerrada, entonces $METRO$

\|M\|=\inf \sum _{i}|r_{i}|

donde son coeficientes racionales en la representación de su clase fundamental en función de la suma de simples singulares. $Rhode Island}$ ${\ estilo de visualización [M]}$

[M]=\sum_{i}r_{i}\Delta_{i}.

Propiedades

Teorema de Gromov: El volumen simplicial de una variedad de curvatura negativa constante es igual a la relación de su volumen con el volumen de un símplex infinito regular en el espacio de Lobachevsky de la misma curvatura.
- Además, el volumen simplicial de una variedad asférica (e incluso racionalmente esencial ) con un grupo fundamental hiperbólico es positivo. [una]

Para cualquier variedad y la misma dimensión $METRO$ $norte$ $\|M\#N\|=\|M\|+\|N\|$ ,

donde denota la suma conectada .

{\ estilo de visualización \ #}

Hay números positivos y tales que si la suma de las dimensiones es , entonces ${\ estilo de visualización a (m)}$ ${\ estilo de visualización b (m)}$ $\dim M+\dim N\leqslant m$ $a(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|\leqslant \|M\times N\|\leqslant b(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\ |$ ,

donde denota el producto directo .

\veces

Para cualquier pantalla $f\dos puntos M\a N$ $\|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,$

donde denota el grado de visualización . En particular:

{\ estilo de visualización \ grado f}

F

Si la variedad admite una aplicación de grado , entonces . $METRO$ ${\ estilo de visualización M \ a M}$ ${\ estilo de visualización> 1}$ ${\ estilo de visualización \|M\|=0}$
Para cualquier volumen simplicial de esfera -dimensional es . $n\geqslant 1$ $norte$ ${\ estilo de visualización 0}$

Teorema de Besson-Courtois-Halo. [2] La siguiente desigualdad $n!\cdot \mahop {\rm {vol)) METRO>\|METRO\|$

se cumple para un espacio de Riemann arbitrario cerrado con una curvatura de Ricci no menor que .

norte

METRO

{\ estilo de visualización - {\ tfrac {1} {n-1}}}

Notas

↑ Corolario 5.3, Löh, Clara. Volumen simple (inglés) // Bulletin of the Manifold Atlas. - 2011. Archivado el 25 de febrero de 2021.
↑ Théorème D, G. Besson, G. Courtois, S. Gallot. Volume et entropie minimale des espaces localementsymétriques // Invent. Matemáticas.. - 1991. - V. 103 , No. 2 . - S. 417-445 .

Literatura

Prasolov , Víktor Vasilievich Elementos de la teoría de la homología . - MTSNMO, 2006. - 448 págs. — (Tendencias clásicas en matemáticas).