Convergencia débil

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La convergencia débil en análisis funcional es un tipo de convergencia en espacios vectoriales topológicos .

Definición

Sea un campo topológico , sea un espacio vectorial topológico sobre el campo y sea el espacio dual de , que consta de todos los funcionales lineales continuos sobre . Entonces, la topología débil de un espacio es la más débil de las topologías en las que todos los funcionales lineales que son continuos en la topología original de este espacio son continuos. $k$ $X$ $k$ $X^{*}$ $X$ $X$

La prebase de la topología débil está formada por los conjuntos

{\displaystyle V_{x,f,\varepsilon}=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon\,\))

para todos , y . $x\en X$ ${\ estilo de visualización f \ en X^{*}}$ $\varepsilon >0$

En otras palabras, una sucesión de elementos converge débilmente a un elemento si, para cualquier función lineal continua, la sucesión de números converge a . ${\ estilo de visualización x_ {n} \ en X}$ $x_{\infty}\in X$ ${\ estilo de visualización f \ en X^{*}}$ ${\ estilo de visualización \ {f (x_ {n}) \}}$ $f(x_{\infty})$

La topología débil* en es la topología cuya prebase está formada por los conjuntos $X^{*}$

{\displaystyle V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\))

para todos , y . $x\en X$ ${\ estilo de visualización f \ en X^{*}}$ $\varepsilon >0$

En otras palabras, una sucesión de funciones converge débilmente* a una función si para cualquier , la sucesión de números converge a . $f_{n}\en X^{*}$ $f_{\infty}\in X^{*}$ $x\en X$ $f_{n}(x)$ $f_{\infty}(x)$

Notas

Se dice que la convergencia en el espacio , definida por su topología original, es fuerte . $X$

Propiedades

Si una sucesión converge fuertemente a algún elemento, entonces también converge débilmente a ese elemento.
En un espacio euclidiano de dimensión finita, los conceptos de convergencia fuerte y débil coinciden.
En el caso donde es un espacio vectorial normado , se cumplen las siguientes afirmaciones. Una sucesión de elementos débilmente convergentes está acotada, es decir, para algún número positivo . Una secuencia de elementos converge débilmente a un elemento si está acotado y converge para cada funcional lineal continuo de algún subconjunto del espacio cuyo tramo lineal es denso en todas partes . $X$ $\{x_{n}\}\subconjunto X$ $\|x_{n}\|\leq C$ $C$ $\{x_{n}\}\subconjunto X$ $x_{0}\en X$ ${\ estilo de visualización \ {f (x_ {n}) \}}$ $f(x_{0})$ $X^{*}$ $X^{*}$
Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki . La bola unitaria cerrada del espacioes compacta en la topología del espacio débil*. $X^{*}$ $X^{*}$
Teorema de Eberlein-Shmulian. Un subconjunto de un espacio de Banach es débilmente compacto si y solo si es débilmente compacto secuencialmente. $A$ $X$

Ejemplo

Sea el espacio de funciones continuas en un intervalo con norma definida por convergencia uniforme (convergencia fuerte). Una secuencia de funciones converge débilmente a una función si y solo si se cumplen dos condiciones: 1) está uniformemente acotada, es decir, para todos para algún número positivo , y 2) converge puntualmente, es decir, la secuencia numérica converge a para cualquier ${\ Displaystyle X = C [a, b]}$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización \ {x_ {n} (\ cdot) \}}$ $x_{0}(\cdot)$ $|x_{n}(t)|\leq C$ ${\ estilo de visualización t \ en [a, b]}$ $C$ ${\ estilo de visualización \ {x_ {n} (\ cdot) \}}$ $x_{0}(\cdot)$ ${\ estilo de visualización \ {x_ {n} (t) \}}$ ${\ estilo de visualización x_ {0} (t)}$ ${\ estilo de visualización t \ en [a, b]}$

Literatura

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, - M .: Nauka, 1965.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, - Cualquier edición.
Rudin U. Análisis funcional, - M .: Mir, 1975.