Rastro de matriz

La traza de una matriz es una operación que mapea el espacio de las matrices cuadradas en el campo sobre el que se define la matriz (para matrices reales, en el campo de los números reales, para matrices complejas, en el campo de los números complejos ). La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz, es decir, si los elementos de la matriz son , entonces su traza es . Las matrices con un rastro cero se llaman sin rastro (del inglés traceless o sin rastro ) [1] . $a_{{ij}}$ $A$ ${\mahop {{\rm {tr}}}}\;A=\sum_{i}a_{{ii}}$

En los textos matemáticos, hay dos designaciones para la operación de tomar un rastro: (del inglés trace - un rastro) y (de él. Spur - un rastro). $\mahop {\rm {tr))\;A$ ${\mahop {{\rm {Esp))))\;A$

En cálculo tensorial, la traza de un tensor de segundo rango (una vez covariante y una vez contravariante) es la suma de sus elementos diagonales. Independientemente de la covarianza y la contravarianza, la traza de un tensor de segundo rango se calcula como un doble producto escalar de un tensor con un tensor métrico y es el primer invariante : . ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$

Definición

La traza de una matriz de tamaño cuadrado se entiende como: $A$ $n\veces n$

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{ n,n},$

donde están los elementos de la diagonal principal : ${\ Displaystyle a_ {yo, yo}}$

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {red}{\ ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {red}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\ color {rojo}{a_{i,i}}$ .

Propiedades

Linealidad . ${\mathop {{\rm {tr))))\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop ({\rm {tr))))\;A+\beta {\mathop ({\ rm {tr}}}}\;B$
${\mahop {{\rm {tr})))\;(AB)={\mahop {{\rm {tr))))\;(BA)$ . Corolario: la traza es la misma para todas las matrices semejantes : . $\mathop {\rm {tr)) \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr)) \;A$
${\mahop {{\rm {tr}}}}\;A={\mahop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , donde denota la operación de transposición . $\mathrm{T}$
$\ln \det A={\mahop {{\rm {tr))))\;\ln A$ .
Si el producto tensorial de las matrices A y B , entonces . $A veces B$ ${\mahop {{\rm {tr))))\;A\otimes B=({\mahop {{\rm {tr))))\;A)({\mahop {{\rm {tr)) }}\;B)$
La traza de una matriz es igual a la suma de sus valores propios .
El determinante de una matriz cuadrada se puede expresar en términos de trazas de potencias de esta matriz que no superan . por ejemplo $n\veces n$ $norte$ $\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mahop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mahop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mahop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mahop {{\rm {tr}}}}A^{3 }\Correcto)$

Propiedad geométrica

${\mathop {{\rm {det))))(E+G\varepsilon)=1+{\mathop ({\rm {tr))))G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon)$ ,

donde E es la matriz identidad, ε es un número infinitesimal. Es decir, una transformación lineal infinitesimal cambia el volumen en una cantidad proporcional a la traza del generador de esta transformación en primer orden en su parámetro pequeño. En otras palabras, la tasa de cambio de volumen durante tal transformación es igual a la traza de su generador.

Consecuencias:
- ${\mahop {{\rm {det}}}}\ {\mahop {{\rm {exp}}}}(G\alfa)=1+{\mahop {{\rm {tr}}}}G\ \ alfa \$ para pequeño α
- Para que las transformaciones no cambien de volumen, es suficiente que sus generadores no tengan rastro.

Véase también

Traza (teoría de campos)

Notas

↑ Lisovsky, Fedor Viktorovich. Nuevo diccionario inglés-ruso de electrónica: en dos volúmenes, unos 100.000 términos y 7.000 abreviaturas . - Moscú: ABBYY Press, 2009. - 2 volúmenes p. ISBN 9785391000051 , 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Rastro de una matriz cuadrada , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4