Desplazamiento malmquista

Malmquist shift ( desplazamiento de Malmquist ) es un efecto en astronomía observacional que da como resultado la detección preferencial de objetos con alta luminosidad. Este efecto fue descrito por primera vez en 1922 por el astrónomo sueco Gunnar Malmqvist (1893-1982), quien estudió este fenómeno en detalle en 1925. [1] [2] En estadística, este sesgo es un error sistemático y afecta los resultados de encuestas en muestras limitadas por magnitud aparente, que no incluyen estrellas cuyas magnitudes estelares aparentes excedan un cierto valor. Dado que las estrellas y galaxias observadas parecen más débiles a mayores distancias del observador, la magnitud aparente aumentará con la distancia hasta que supere el valor límite de este estudio. Los objetos con mayor luminosidad se pueden observar desde una distancia mayor, lo que puede crear una relación espuria que aumenta el brillo con la distancia. El método para tener en cuenta correctamente dicho efecto requería una atención especial por parte de los científicos.

Teoría del desplazamiento

Magnitud aparente y brillantez

Se sabe que a medida que la fuente se aleja del observador, la fuente se ve cada vez más débil. La atenuación ocurre de acuerdo con la ley del inverso del cuadrado , que establece que la iluminación de la fuente disminuye como 1/ d 2 , donde d es igual a la distancia desde la fuente de luz hasta el observador.

La luz de las estrellas también se propaga de acuerdo con la ley del inverso del cuadrado. Los rayos de luz se propagan dentro de una esfera centrada en una estrella. A medida que pasa el tiempo, la esfera se hace más grande a medida que la luz se aleja de la estrella. La esfera aumenta de tamaño, pero el número de rayos sigue siendo el mismo. Por lo tanto, la cantidad de luz que pasa a través de una sola área de una esfera disminuye con la distancia y, por lo tanto, con el tiempo. Al observar una estrella, el observador solo registra aquellos rayos que caen dentro de un área determinada. Este hecho muestra por qué las estrellas más distantes parecen más débiles.

Considere dos estrellas de la misma luminosidad a diferentes distancias. Una estrella más cercana aparecerá más brillante. Así, la magnitud estelar aparente depende no sólo de la luminosidad de la fuente, sino también de la distancia a la misma.

Si todas las estrellas tuvieran la misma luminosidad, la distancia de la Tierra a la estrella se determinaría de forma sencilla. Sin embargo, las estrellas tienen luminosidades significativamente diferentes, por lo tanto, es difícil distinguir una estrella brillante distante de una cercana débil. Por lo tanto, determinar la distancia a los objetos astronómicos es una tarea difícil.

Motivo de la eliminación de Malmquist

Por lo general, cuando observamos una región del cielo, solo podemos ver estrellas hasta una cierta magnitud. Como se discutió anteriormente, veremos estrellas distantes de alta luminosidad y estrellas cercanas, tanto brillantes como débiles. Así, parecerá que, hasta cierta distancia, hay muchas más estrellas de alta luminosidad que débiles. De hecho, hay muchas más estrellas débiles, [3] pero no caen en la muestra observada, porque son demasiado débiles. El desplazamiento hacia estrellas de mayor luminosidad al observar una sección del cielo incide en la determinación del valor medio de la magnitud estelar absoluta y de la distancia media a un grupo de estrellas. Dado que las estrellas de alta luminosidad son visibles a grandes distancias, puede parecer que la muestra en cuestión está más lejos en promedio y, por lo tanto, se considerará que cada estrella tiene una luminosidad más alta. Este efecto se llama sesgo de Malmquist. [una]

Al estudiar una muestra de fuentes de alta luminosidad, estrellas o galaxias, es importante tener en cuenta el cambio hacia objetos más brillantes. Hay varios métodos para tener en cuenta la influencia del sesgo de Malmquist.

La influencia del cambio de Malmquist no se limita a las luminosidades de los objetos. Otras cantidades observables están sujetas al mismo cambio y su capacidad de detección disminuye con la distancia. [cuatro]

Métodos de corrección

Idealmente, se debería evitar este sesgo en las encuestas. Sin embargo, los levantamientos de magnitud limitada son los más fáciles de implementar, mientras que otros métodos son más complejos y requieren tener en cuenta otro tipo de incertidumbres, lo que puede ser difícil para los objetos que se observan por primera vez. Se han propuesto varios métodos diferentes para eliminar el sesgo. A continuación se muestran los métodos en orden de complejidad creciente y precisión y eficiencia crecientes.

Límite de muestreo

El método más simple consiste en usar solo la parte no sesgada del conjunto de datos. [5] Dependiendo de la magnitud límite, puede haber un intervalo de valores de distancia en el que todos los objetos con diferentes magnitudes absolutas serán visibles. Entonces dicho subconjunto de datos estará libre del sesgo de Malmquist. La obtención de dicho subconjunto se puede hacer de la siguiente manera: el valor límite de la distancia es aquel en el que los objetos más débiles tendrán la magnitud límite. Desafortunadamente, este método implica la exclusión de una gran cantidad de datos y limita el análisis posible solo a datos sobre objetos cercanos. Además, este método asume un conocimiento preciso de las distancias a los objetos.

La versión tradicional de la corrección

La primera solución propuesta por Malmquist en 1922 fue corregir la magnitud absoluta media ( ) de la muestra para obtener un valor insesgado ( M 0 ). [1] La corrección es

Para calcular esta corrección, Malmquist y otros científicos utilizaron una serie de suposiciones. [6]

  1. No hay extinción interestelar, o la materia entre estrellas (gas o polvo) no afecta el paso de la luz. Esta suposición implica que la propagación de la luz obedece únicamente a la ley del inverso del cuadrado.
  2. La función de luminosidad (Φ) es independiente de la distancia ( r ). Esta suposición significa que el Universo es el mismo en cualquier parte y las estrellas se distribuyen en cualquier área de la misma manera que en la vecindad del Sol.
  3. Para un área dada de la esfera celeste , la densidad de estrellas ( ρ ) depende únicamente de la distancia, lo que implica el mismo número de estrellas en promedio en diferentes direcciones.
  4. La muestra se considera completa, es decir, tiene en cuenta todas las estrellas hasta la magnitud estelar aparente límite ( m lim ).
  5. La función de luminosidad se puede aproximar mediante una Gaussiana centrada en la magnitud absoluta media M 0 .
  6. Las estrellas pertenecen a la misma clase espectral , cuya magnitud estelar absoluta promedio es igual a M 0 , la varianza es igual a σ .

Esta situación es ideal, y el último supuesto está asociado con las mayores dificultades, pero permite una corrección de una forma simple. Al integrar la función de luminosidad sobre todas las distancias y magnitudes más brillantes que m lim , tenemos

[1] [6]

donde A(m lim ) es igual al número total de estrellas más brillantes que m lim . Si la distribución espacial de las estrellas se puede considerar uniforme, entonces esta relación se simplifica y se reduce a la forma

[1] [6] Corrección dentro de las observaciones en varias bandas

El método tradicional implica que las medidas de la magnitud aparente y las medidas a partir de las cuales se determinan las distancias se realizan en el mismo rango de longitud de onda (por ejemplo, en la banda H, el intervalo de longitud de onda en el rango infrarrojo, alrededor de 1300-2000 nm ), lo que conduce a una corrección en la forma cσ 2 , donde c es una constante. Desafortunadamente, estos casos son raros, ya que generalmente la distancia a los objetos se determina a partir de observaciones en otros rangos de longitud de onda. Por ejemplo, muchas veces se seleccionan galaxias de catálogos de sondeos en la banda B, los sondeos más completos, y luego se utilizan las magnitudes estelares aparentes en esta banda, pero las distancias se determinan a partir de la dependencia Tully-Fisher y en la banda H. En este caso, la varianza se reemplaza por una covarianza entre la dispersión a distancia y el parámetro de dispersión de las galaxias (por ejemplo, la magnitud aparente). [7]

Pesaje por volumen

Otro método de corrección simple es usar un promedio ponderado para tener en cuenta la contribución relativa de cada valor. Dado que los objetos con diferentes magnitudes absolutas se pueden ver a diferentes distancias, la contribución de cada punto a la magnitud absoluta promedio o función de luminosidad se puede considerar con un peso de 1/V max , donde V max muestra el volumen máximo en el que se pueden ver los objetos . observado. Los objetos más brillantes (con magnitudes absolutas más bajas) tendrán un mayor volumen en el que se pueden detectar y, por lo tanto, tendrán menos peso, aunque en general este grupo estará representado por un mayor número de objetos. [8] El volumen máximo se puede representar como el volumen de una esfera, cuyo radio se determina a partir del módulo de distancia por la magnitud absoluta del objeto y la magnitud aparente límite.

Existen dos dificultades principales para determinar Vmax . En primer lugar, es posible que el levantamiento no cubra todo el cielo, es decir, se debe tener en cuenta el área de la parte del cielo donde se observan los objetos en estudio. [8] En un levantamiento completo, los objetos se observan en toda la esfera celeste, pero en la práctica, los levantamientos completos son raros debido a las limitaciones de tiempo en las observaciones, así como a las restricciones geográficas (es posible que parte del cielo no sea visible desde una determinada latitud). ). En cambio, las observaciones se hacen de una pequeña área del cielo, luego se asume una cierta distribución de objetos (uniforme o engrosada hacia el plano de la Galaxia), lo que permite extrapolar las observaciones a toda la esfera celeste. También es posible simplemente escalar el número de objetos observados por el área de la parte del cielo observada. El impacto de la revisión incompleta debe tenerse en cuenta al comparar diferentes revisiones.

En segundo lugar, al observar objetos distantes, se debe tener en cuenta el corrimiento al rojo cosmológico y la expansión del Universo . En este caso, se requiere considerar la distancia de comovimiento , que es constante entre dos objetos, asumiendo que se mueven uno respecto del otro solo debido a la expansión del Universo. Si ignoramos la expansión del Universo, entonces la distancia que lo acompaña puede considerarse como la distancia entre los objetos. La distancia asociada se puede utilizar para calcular el volumen. Si el corrimiento al rojo es igual a z , D A y V A son iguales a la distancia y el volumen (independientemente de lo que se mida actualmente), D C y V C son iguales a la distancia y el volumen comóviles, entonces

[9]

Una seria desventaja de la ponderación por volumen es su alta sensibilidad a las estructuras a gran escala, como los cúmulos estelares o vacíos . [10] La presencia de un área con una densidad de objetos muy alta o muy baja introducirá un cambio significativo en la magnitud absoluta promedio o función de luminosidad. La presencia de inhomogeneidades a gran escala tiene la mayor influencia en el cálculo de objetos débiles, ya que para ellos los volúmenes en los que se pueden observar estos objetos son pequeños.

Métodos de corrección más complejos

Hay una serie de métodos correctos y que consumen más tiempo para tener en cuenta el sesgo de Malmquist. Algunos de los métodos se enumeran a continuación con una breve descripción; Se puede obtener información más detallada en los enlaces a los artículos.

Corrección de máxima verosimilitud

Este método se basa en las funciones de distribución de objetos, como estrellas o galaxias, mostrando el número esperado de objetos dentro de un cierto rango de parámetros. Cada uno de los parámetros de los objetos en consideración, como la magnitud estelar aparente, la distancia, tiene su propia función de distribución, según la cual, en presencia de un generador de números aleatorios, se puede crear una muestra teórica de objetos. Se supone que se conoce la función de distribución de distancias, la función de distribución de magnitudes absolutas puede variar. Es posible comparar varias funciones de distribución de magnitud absoluta con la distribución observada de objetos y encontrar una función para la cual la distribución observada de objetos sea la más probable. Si existen ciertas restricciones en la capacidad de detectar objetos, puede obtener una función de distribución imparcial real. Este método requiere grandes cantidades de cálculos. [10] [11]

Método de Schechter

Paul Schechter , mientras estudiaba las galaxias, descubrió la relación entre el logaritmo del ancho de la línea espectral y la magnitud estelar aparente. [12] Idealmente, las líneas espectrales deberían ser picos infinitamente estrechos, pero el movimiento de un objeto, como la rotación o el cambio a lo largo de la línea de visión en relación con el observador, conduce a la ampliación y el desplazamiento de las líneas. La relación se encontró sobre la base de la relación Tully-Fisher, que relaciona la distancia a la galaxia, la magnitud aparente y la velocidad (el valor máximo en la curva de rotación ). Debido al ensanchamiento Doppler , el logaritmo del ancho de la línea espectral observada se puede relacionar con el ancho de la distribución de velocidades. Si consideramos que las distancias son bien conocidas, entonces la magnitud absoluta y el ancho de las líneas resultan estar íntimamente relacionados. [12] Por ejemplo, al observar hidrógeno neutro en la línea de 21 cm , la relación se representa como una ley lineal

donde P es el logaritmo del ancho de línea espectral y α y β son constantes.

La razón por la que esta estimación es útil es que la línea de regresión inversa no está sujeta al sesgo de Malmquist, el efecto de selección solo afecta la magnitud. El valor esperado de P dado M será imparcial, lo que proporcionará una estimación imparcial del logaritmo de la distancia. [13]

Métodos matemáticos más avanzados

Las versiones mejoradas de los métodos de corrección se basan en supuestos limitantes adicionales. A menudo, estos métodos conducen a expresiones matemáticas complejas aplicables a casos específicos. Por ejemplo, Luri y otros derivaron una relación para el desplazamiento de estrellas en una galaxia, relacionando la magnitud aparente, la magnitud absoluta y la altura de una estrella sobre el plano de la galaxia. La aplicación de la relación da estimaciones más correctas, pero requiere ciertas suposiciones sobre la distribución espacial de las estrellas. [catorce]

Aplicación

Cuando se utiliza un muestreo de magnitud limitada, se debe aplicar uno de los métodos anteriores para corregir el sesgo de Malmquist. Por ejemplo, al derivar una función de luminosidad, calibrar la relación Tully-Fisher o determinar la constante de Hubble , el sesgo de Malmquist puede influir mucho en el resultado.

La función de luminosidad muestra el número de estrellas o galaxias en un intervalo de unidad por luminosidad o magnitud absoluta. Cuando se utiliza una muestra con una limitación en la magnitud aparente, se subestima el número de objetos débiles, lo que desplaza el pico de la función de luminosidad a la región de objetos con mayor luminosidad y cambia la forma de la función. Por lo general, se usa un método ponderado por volumen para corregir el sesgo de Malmquist, después de lo cual la muestra se considera limitada por la distancia. [15] La figura de la derecha muestra dos funciones de luminosidad para una muestra de estrellas limitada por la magnitud aparente. La curva punteada muestra la función de luminosidad sin la corrección de polarización de Malmquist, la curva azul sólida muestra la función de luminosidad corregida. El sesgo de Malmquist afecta significativamente la forma de la curva.

La dependencia de Tully-Fisher, que relaciona la luminosidad de las galaxias con la velocidad de rotación, también se ve afectada por el sesgo de Malmquist. Si se usa un cúmulo cercano de galaxias para calibrar la relación y luego se aplica la proporción a uno más distante, entonces la distancia al cúmulo distante se desplazará sistemáticamente hacia abajo. [13]

Alternativas

Para evitar el sesgo de Malmquist, se han ideado varios métodos alternativos, algunos de los cuales se presentan a continuación.

Muestreo de distancia limitada

Al considerar una muestra de objetos hasta cierta distancia, el sesgo de Malmquist estará ausente. [5] En tal muestra, el volumen considerado incluirá todos los tipos de estrellas, las funciones de distribución y las funciones de luminosidad no se distorsionarán. En la práctica, este método es muy difícil de implementar, ya que la determinación de las distancias a los objetos está asociada con una serie de dificultades. Incluso en el caso de determinar la distancia mediante velas estándar , las estimaciones obtenidas presentan incertidumbres. La mayoría de las veces, el muestreo completo de objetos hasta una cierta distancia solo es posible a distancias relativamente pequeñas.

Correcciones de Malmquist uniformes y no uniformes

Este método nuevamente intenta corregir el desplazamiento, pero de una manera diferente. En lugar de fijar magnitudes absolutas, el método considera las distancias a los objetos como variables aleatorias y luego vuelve a escalar estas distancias. [13] En lugar de atribuir la distribución correcta de magnitudes absolutas a las estrellas de la muestra, el método de desplazamiento de objetos se lleva a cabo de tal manera que la distribución de distancias resulta ser correcta. Idealmente, los resultados deberían coincidir con los obtenidos con los métodos de corrección de magnitud. Tanto en el método homogéneo como en el no homogéneo, el sesgo se define en términos de la distribución previa de distancias, la estimación de la distancia y la función de probabilidad . En el caso homogéneo, las distancias iniciales eventualmente se multiplican por el mismo factor. Tal método da un resultado inexacto en presencia de estructuras a gran escala y efectos de selección observacional. En el caso no homogéneo, se intenta tener en cuenta tales efectos al crear una distribución previa más compleja que incluye falta de homogeneidad en la distribución observada. En ambos casos se asume una función de distribución gaussiana con varianza constante y media igual al verdadero logaritmo medio de la distancia. Se discuten los límites de aplicabilidad de este método, ya que hay una serie de incertidumbres en la medición inicial de distancias a objetos. [13]

Definiciones históricas alternativas

El término sesgo de Malmquist no siempre se ha aplicado al efecto descrito anteriormente. En el año 2000, una serie de efectos estadísticos se denominaron sesgo de Malmquist en la literatura. [dieciséis]

Notas

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Malmquist, Gunnar. Sobre algunas relaciones en estadísticas estelares // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. - 1922. - T. 16 , N º 23 . - S. 1-52 . - .
  2. ↑ Malmquist, Gunnar. Una contribución al problema de determinar la distribución en el espacio de las estrellas  //  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik: revista. - 1925. - Vol. 19A , n. 6 _ - P. 1-12 . - .
  3. ↑ Salpeter, Edwin. La función de luminosidad y la evolución estelar  //  The Astrophysical Journal  : journal. - Ediciones IOP , 1955. - Vol. 121 . — Pág. 161 . -doi : 10.1086/ 145971 . - .
  4. ↑ Muro, JV; Jenkins, CR Estadística práctica para astrónomos. — 2do. - Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , 2012. - P. 189. - (Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers). - ISBN 978-0-521-73249-9 .
  5. ↑ 1 2 Sandage, Allan (noviembre de 2000), Malmquist Bias and Completeness Limits , en Murdin, P., The Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics , Bristol: Institute of Physics Publishing, Artículo 1940, ISBN 0-333-75088-8 , DOI 10.1888/0333750888/1940 . 
  6. ↑ 1 2 3 Butkévich, AG; Berdyugin, AV; Terrikorpi, P. Sesgos estadísticos en astronomía estelar. el sesgo de Malmquist revisado  (inglés)  // MNRAS  : revista. - 2005. - Septiembre ( vol. 362 , n. 1 ). - Pág. 321-330 . -doi : 10.1111 / j.1365-2966.2005.09306.x . - .
  7. ↑ Gould, Andrés. Selección, covarianza y sesgo de Malmquist  //  The Astrophysical Journal  : revista. - Ediciones IOP , 1993. - Agosto ( vol. 412 ). - Pág. 55-58 . -doi : 10.1086/ 186939 . - .
  8. ↑ 1 2 Blanton, Michael; Schlegel, DJ; Strauss, MA; Brinkman, J.; Finkbeiner, D.; Fukugita, M.; Gunn, JE; Hogg, DW; Ivézic, Z.; Knapp, G. R.; Lupton, RH; Munn, JA; Schneider, D.P.; Tegmark, M.; Zehavi, I. Catálogo de galaxias de valor agregado de la Universidad de Nueva York: un catálogo de galaxias basado en nuevas encuestas públicas  //  The Astronomical Journal  : revista. - Ediciones IOP , 2005. - Junio ​​( vol. 129 , no. 6 ). - P. 2562-2578 . -doi : 10.1086/ 429803 . - . -arXiv : astro - ph/0410166 .
  9. ↑ Hogg, David W. (diciembre de 2000), Medidas de distancia en cosmología, arΧiv : astro-ph/9905116 . 
  10. ↑ 1 2 Blanton, Michael R.; Lupton, RH; Schlegel, DJ; Strauss, MA; Brinkman, J.; Fukugita, M.; Loveday, J. Las propiedades y la función de luminosidad de las galaxias de luminosidad extremadamente baja  //  The Astrophysical Journal  : journal. - Ediciones IOP , 2005. - Septiembre ( vol. 631 , no. 1 ). - pág. 208-230 . -doi : 10.1086/ 431416 . - . — arXiv : astro-ph/0410164 .
  11. ↑ Efstathiou, George; Frank, CS; Blanco, SDM; Davis, M. Agrupación gravitacional a partir de condiciones iniciales sin escala  // MNRAS  :  revista. - 1988. - Diciembre ( vol. 235 ). - Pág. 715-748 . -doi : 10.1093 / mnras/235.3.715 . - .
  12. ↑ 1 2 Schechter, PL Relaciones masa-luz para galaxias elípticas  // Astronomical Journal  :  journal. - 1980. - julio ( vol. 85 ). - Pág. 801-811 . -doi : 10.1086/ 112742 . - .
  13. ↑ 1 2 3 4 Henry, MA; Simmons, JFL y Newsam, AM (octubre de 1993), ¿Qué queremos decir con 'sesgo de Malmquist'?, archivo iv : astro-ph/ 9310028 . 
  14. ↑ Luri, X.; Mennessier, MO; Torra, J.; Figueras, F. Una nueva aproximación al sesgo de Malmquist  // Astronomía y Astrofísica  : revista  . - 1993. - Enero ( vol. 267 ). - P. 305-307 . - .
  15. ↑ Binney, James; Merrifield, Michael. Astronomía Galáctica. - Prensa de la Universidad de Princeton , 1998. - S. 111-115.
  16. ↑ Murdin, Paul. Malmquist, Gunnar (1893-1982) // Enciclopedia de astronomía y astrofísica  (inglés) . - 2000. - ISBN 0-333-75088-8 . -doi : 10.1888 / 0333750888/3837 .