Conjunto perfecto

Un conjunto perfecto es un conjunto cerrado que no tiene puntos aislados , es decir, coincide con el conjunto de todos sus puntos límite.

Ejemplos

El ejemplo clásico de un conjunto perfecto, denso en ninguna parte, es el conjunto de Cantor .

Propiedades

Cualquier conjunto perfecto no vacío del espacio euclidiano tiene la cardinalidad del continuo (una generalización del teorema de Cantor de que todo conjunto perfecto en un segmento del eje real tiene la cardinalidad del continuo) [1] .
El conjunto de puntos de condensación de cualquier conjunto es perfecto.

El teorema de Cantor-Bendixon

El teorema de Cantor-Bendixon es un enunciado sobre la estructura de cualquier conjunto cerrado incontable . Este teorema se generaliza al caso de subconjuntos de un espacio métrico con base contable (ver teorema de Lindelöf )

Redacción

Cualquier conjunto cerrado incontable es la suma de un conjunto perfecto de sus puntos de condensación y no más que un conjunto contable de otros puntos. $METRO$

Prueba

La demostración se basa en tres teoremas. Se sigue de los teoremas 2 y 3. Para demostrarlo, basta con señalar que el conjunto de puntos de condensación debido a la clausura de . ${\ estilo de visualización N \ subconjunto M}$ $METRO$

Teorema 1

Para que un punto sea un punto de condensación del conjunto , es necesario y suficiente que cualquier vecindad racional del punto contenga un conjunto incontable de puntos de . $a$ $METRO$ $a$ $METRO$

Explicaciones

Una vecindad racional de un punto es cualquier intervalo con extremos racionales que contengan este punto, que puede no ser el centro del intervalo. $a$

Prueba Necesidad

Sea un punto de condensación y sea una vecindad racional arbitraria del punto . Elijamos _ Entonces la vecindad del punto caerá completamente en . Como es un punto de condensación, entonces , y por lo tanto y , contendrán un conjunto incontable de puntos desde . $a$ ${\ estilo de visualización (r', r'')}$ $a$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ ${\ estilo de visualización (a-\delta, a+\delta)}$ $a$ ${\ estilo de visualización (r', r'')}$ $a$ ${\ estilo de visualización (a-\delta, a+\delta)}$ ${\ estilo de visualización (r', r'')}$ $METRO$

Suficiencia

Deje que cualquier vecindad racional de un punto contenga un conjunto incontable de puntos de . Considere una vecindad arbitraria del punto y sean y dos números racionales ubicados respectivamente entre y y entre y . Entonces una vecindad completamente racional caerá en la vecindad , y junto con ella, un conjunto incontable de puntos desde . Pero esto significa que hay un punto de condensación. $a$ $METRO$ ${\ estilo de visualización (a-\delta, a+\delta)}$ $a$ $r'$ ${\ estilo de visualización r''}$ ${\ estilo de visualización a-\ delta}$ $a$ $a$ $a+\delta$ ${\ estilo de visualización (a-\delta, a+\delta)}$ ${\ estilo de visualización (r', r'')}$ $METRO$ $a$

Teorema 2 Redacción

Todo conjunto incontable contiene un conjunto incontable de sus puntos de condensación . $METRO$

Prueba

Sea un conjunto de puntos de los cuales no son puntos de condensación del conjunto . Si , entonces no hay nada que probar. Sea y . Dado que no es un punto de condensación, existe una vecindad racional del punto que contiene como máximo un conjunto numerable de puntos desde , incluidos los puntos desde . Por lo tanto, todo el conjunto puede encerrarse en algún sistema de intervalos racionales, cada uno de los cuales no contiene más que un número contable de puntos desde . Dado que hay un conjunto contable de todos los intervalos racionales, se deduce que también es , como mucho, contable. Entonces — el conjunto de puntos de condensación del conjunto es incontable. $R$ $METRO$ $METRO$ $R=\varnada$ $R\neq \varnada$ $x \en R$ $X$ ${\ estilo de visualización (r'_ {x}, r''_ {x})}$ $X$ $METRO$ $R$ $R$ $R$ $R$ ${\ estilo de visualización M \ barra invertida R}$ $METRO$

Teorema 3 Redacción

El conjunto de puntos de condensación de un conjunto incontable es perfecto. $norte$ $METRO$

Prueba

Primero mostremos que está cerrado. Sea y un intervalo racional arbitrario que contiene el punto . Para un intervalo suficientemente pequeño , el intervalo caerá completamente dentro . Dado que es un punto límite para un conjunto de puntos de condensación, contiene al menos un punto de condensación y, junto con él, alguna vecindad del punto . Pero entonces esta vecindad, y por lo tanto también , contiene un conjunto incontable de puntos desde y desde es una vecindad racional arbitraria del punto , es decir, el punto de condensación, es decir, . Demostremos que no contiene puntos aislados. Sea un punto arbitrario desde y un vecindario arbitrario del punto . Entonces este vecindario contiene un conjunto incontable de puntos de . Considere un conjunto incontable . Por el Teorema 1, contiene un conjunto incontable de sus puntos de condensación. Cada punto de condensación de es al mismo tiempo un punto de condensación de . Por lo tanto, entra un conjunto incontable de puntos de , y, por lo tanto, no es un punto aislado de este conjunto. $norte$ ${\ estilo de visualización x \ en N'}$ ${\ estilo de visualización (r'_ {x}, r''_ {x})}$ $X$ $\delta$ ${\ estilo de visualización (x-\delta, x+\delta)}$ ${\ estilo de visualización (r'_ {x}, r''_ {x})}$ $X$ ${\ estilo de visualización (x-\delta, x+\delta)}$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ ${\ estilo de visualización (r'_ {x}, r''_ {x})}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización (r'_ {x}, r''_ {x})}$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización x \ en N}$ $norte$ $x_{{0}}$ $norte$ ${\ estilo de visualización (x_{0}-\eta, x_{0}+\eta)}$ $x_{{0}}$ $METRO$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta,x_{0}+\eta)$ $M_{{1}}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización (x_{0}-\eta, x_{0}+\eta)}$ $norte$ $x_{{0}}$

Notas

↑ Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 p.

Literatura

Sobolev VI Conferencias sobre capítulos adicionales de análisis matemático. - M.: Nauka, 1968. - S. 79.