Punto de condensación

El punto de condensación  es una versión reforzada del punto límite y una versión especial del punto de acumulación en la topología general : para un conjunto dado en un espacio topológico , un punto se llama punto de condensación si cualquier vecindad contiene un conjunto incontable de puntos de el conjunto

El conjunto de puntos de condensación del conjunto  -  - es cerrado , además, si no es vacío, entonces es un conjunto perfecto y tiene la cardinalidad del continuo . El conjunto de puntos de condensación del cierre del conjunto coincide con el conjunto de puntos de condensación del propio conjunto: . La unión de los conjuntos de puntos de condensación de dos conjuntos coincide con el conjunto de puntos de condensación de la unión de los conjuntos originales: . Para un conjunto en un espacio con el segundo axioma de contabilidad , y son contables . Las dos últimas propiedades implican directamente el teorema de Cantor-Bendixon en la versión topológica general (probado originalmente para subconjuntos de la línea real).

Para el subconjunto numérico, todos los puntos límite son puntos de condensación; cada punto del discontinuo de Cantor es su punto de condensación. Un conjunto contable de puntos de condensación no puede tener (al mismo tiempo, pueden existir puntos límite, por ejemplo,  todos los puntos de la recta real son puntos límite para un conjunto contable de números racionales).

Para subespacios de espacios euclidianos , los puntos de condensación fueron definidos y estudiados en 1903 por Ernst Lindelöf , en 1914 Felix Hausdorff extendió el concepto a espacios topológicos generales.

Literatura