Operador normal

Un operador normal es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert que conmuta con su conjugado : . Los casos especiales de operadores normales son los operadores autoadjuntos : y los operadores unitarios : . Para operadores normales, se cumple el teorema espectral . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Expansiones

Descomposición aditiva. , donde están los operadores autoadjuntos de permutación , $N = X + yo Y$ $X,Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Expansión multiplicativa (polar) . , donde es un operador autoadjunto positivo , es un operador unitario . Los operadoresyconmutan entre sí y con cualquier operador lineal que conmuta simultáneamente cony. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $tu$ $R$ $tu$ $norte$ $N^{*}$

La expansión aditiva es similar a la expresión de un número complejo en términos de sus partes real e imaginaria: , y la expansión multiplicativa es similar a la representación en forma exponencial: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varfi}.$

Propiedades

Si el operador es normal, entonces los operadores , y el operador inverso (si existe) también son normales. [2] $norte$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ ${\ estilo de visualización N^{-1}}$
Un operador continuo lineal en un espacio de Hilbert es normal si y solo si para cada . $norte$ $H$ $\| norte x \| = \| N^*x\|$ $x\en H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Aquí , está el núcleo y es la imagen del operador . $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $norte$
Si para algunos y , entonces . $norte x = \ alfa x$ $x \en H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alpha x$
Los espacios propios correspondientes a diferentes valores propios del operador normal son ortogonales . [3]
El teorema de la permutabilidad. Sean operadores lineales continuos y sean los operadores y normales. Si , entonces . En particular, si un operador conmuta con el operador normal , entonces conmuta con el conjugado . [cuatro] $M, N, T$ $METRO$ $norte$ $MT=TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $norte$ $N^{*}$
$\| norte \| = \arriba \{ |(Nx,x)| \colon x \en H, \, \| x\| \le 1 \}$ [5]
Un operador normal es autoadjunto si y solo si su espectro se encuentra en el eje real . Un operador normal es unitario si y sólo si su espectro se encuentra en el círculo unitario . [6]
Los operadores normales semejantes son unitariamente equivalentes, es decir, si , donde son operadores normales y el operador es invertible , entonces , donde es un operador unitario . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $tu$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ , por tanto, el radio espectral del operador normal coincide con su norma . [2]

Teorema espectral

Cualquier operador normal corresponde a una familia de operadores de proyección , que son funciones aditivas y multiplicativas de un rectángulo, tales que $norte$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

y en general

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

donde es un polinomio arbitrario en y ; para cualquier rectángulo fijo , el operador es el límite de alguna secuencia de polinomios en los operadores y [8] . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $norte$ $N^{*}$

A partir de la descomposición espectral de operadores normales se construye un cálculo funcional para las funciones

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

El caso de un espacio de dimensión finita

En un espacio unitario de dimensión finita en base ortonormal , un operador normal corresponde a una matriz normal . El operador normal también tiene las siguientes propiedades.

Un operador lineal es normal si y solo si tiene un sistema ortonormal de vectores propios .
Para un operador normal, cada uno de los operadores y se representa como un polinomio de otro de los operadores; además, estos dos polinomios se determinan especificando los valores propios del operador . $norte$ $norte$ $N^{*}$ $norte$
Si es un subespacio invariante bajo el operador , entonces su complemento ortogonal también es un subespacio invariante para . $S$ $norte$ $S^{\perp}$ $norte$
Una matriz es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal , es decir, donde es una matriz unitaria , es una matriz diagonal . [diez] $norte$ $N = UDU^{-1},$ $tu$ $D$

Operadores Ilimitados

La noción de operador normal se generaliza a operadores ilimitados. Un operador lineal (no necesariamente acotado ) en un espacio de Hilbert se llama normal si su dominio es denso en , es cerrado y satisface la condición . Para un operador normal , para cualquier . También se generalizan algunas otras propiedades del operador normal, incluido el teorema espectral . [once] $norte$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| norte x \| = \| N^*x\|$ $x \en D(N)$

Véase también

Notas

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , página 110.
↑ 1 2 Sobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , p.12.12.
↑ Rudin, 1975 , p.12.16.
↑ Rudin, 1975 , p.12.25.
↑ Rudin, 1975 , p.12.26.
↑ Rudin, 1975 , p.12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , pág. 309.
↑ Rudin, 1975 , página 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , capítulo 9, § 10.
↑ Rudin, 1975 , capítulo 13.

Literatura

Sobolev V.I. Operador normal // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Rudin W. Análisis funcional. — M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. - Ed. 2º, adicional.. - M .: Nauka, cap. edición Phys.-Math. iluminado, 1966.