Método espectral

Los métodos espectrales son una clase de técnicas usadas en matemáticas aplicadas para la solución numérica de ciertas ecuaciones diferenciales , a veces usando la Transformada Rápida de Fourier . La idea es representar la solución de ecuaciones diferenciales como una suma de algunas " funciones base " (como cómo las series de Fourier son la suma de sinusoides ), y luego elegir los coeficientes en la suma que mejor satisfagan las ecuaciones dadas.

Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas. La principal diferencia es que los métodos espectrales utilizan funciones de base distintas de cero en todo el dominio de definición, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan funciones de base distintas de cero solo en pequeños subdominios. En otras palabras, los métodos espectrales adoptan un enfoque global , mientras que los métodos de elementos finitos utilizan un enfoque local . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de la llamada "convergencia exponencial", que es la más rápida posible si la solución es suave . Sin embargo, no se conoce ningún método espectral tridimensional de un dominio de conteo completo (la onda de choque no es suave) [1] . El método de elementos finitos, en el que la potencia del elemento es muy alta o aumenta a medida que disminuye el parámetro de red h , a veces se denomina método de elementos espectrales .

Los métodos espectrales se pueden usar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones diferenciales parciales y problemas de valores propios que involucran ecuaciones diferenciales. Cuando se aplican métodos espectrales a ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo, la solución generalmente se escribe como la suma de funciones de base con coeficientes dependientes del tiempo. Sustituyendo tal suma en una ecuación diferencial parcial se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en los coeficientes, que se puede resolver usando cualquiera. método numérico de ecuaciones diferenciales ordinarias . El problema de encontrar valores propios para ecuaciones diferenciales ordinarias se reduce de manera similar al problema de encontrar los valores propios de una matriz.

Steven Orsaga ha desarrollado métodos espectrales en una serie de artículos. Desde 1969, se han desarrollado para métodos de Fourier para problemas geométricos periódicos, métodos espectrales polinómicos para problemas geométricos finitos e ilimitados, métodos pseudoespectrales para problemas fuertemente no lineales, métodos espectrales iterativos para resolver problemas de estado estacionario y otros problemas. La implementación del método espectral generalmente termina con una colocación o el método Galerkin , o el enfoque Tau[ aclarar ] .

Los métodos espectrales son computacionalmente menos costosos que los métodos de elementos finitos, pero se vuelven menos precisos para problemas con geometrías complejas y coeficientes discontinuos. Este aumento en el error es una consecuencia. Fenómenos de Gibbs

Ejemplos de métodos espectrales

Ejemplo lineal

Aquí asumimos una comprensión del cálculo multivariante básico y las series de Fourier . Si g(x,y) es una función compleja conocida de dos variables reales y g es periódica en x e y ( g(x,y)=g(x+2π,y)=g(x,y+2π)) , entonces nos interesa encontrar una función f(x,y) tal que

\left({\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial y^{2}}}\ derecha)f(x,y)=g(x,y)

para todo x,y

donde la expresión de la izquierda es la segunda derivada parcial de f con respecto a xey, respectivamente. Esta es la ecuación de Poisson y puede interpretarse físicamente como algún tipo de problema de transferencia de calor o problema en la teoría del potencial, entre otras posibilidades.

Si escribimos f y g como series de Fourier

{\displaystyle f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)))

{\displaystyle g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)))

Y sustituimos en la ecuación diferencial, obtenemos la ecuación:

\sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx +ky)}

Hemos cambiado la derivación parcial por la sumatoria, lo cual es legal si suponemos, por ejemplo, que f tiene una segunda derivada continua. De acuerdo con el teorema de unicidad para la expansión de Fourier, entonces debemos igualar los coeficientes de Fourier elemento por elemento, lo que da

(*)

a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}

que es una fórmula explícita para los coeficientes de Fourier a j , k .

Con condiciones de frontera periódicas , la ecuación de Poisson tiene solución sólo si b 0 , 0 = 0 . Así, podemos elegir libremente un 0 , 0 . Esto corresponde a la elección de la constante de integración.

Para convertir esto en un algoritmo, solo se calcula un número finito de frecuencias. Esto da un error que puede demostrarse que es proporcional a , donde y es la frecuencia procesada más alta. ${\ estilo de visualización h ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización h: = 1/n}$ $norte$

Algoritmo

Calcule la transformada de Fourier ( b j,k ) de la función g .
Calculamos la transformada de Fourier ( a j,k ) de la función f mediante la fórmula (*).
Calcule f tomando la transformada inversa de Fourier de ( a j,k ).

Dado que estamos interesados en una ventana finita de frecuencias (de tamaño n , digamos ), esto se puede hacer usando el algoritmo Fast Fourier Transform . Por lo tanto, globalmente, el algoritmo se ejecuta en tiempo O ( n log n ).

Ejemplo no lineal

Deseamos resolver la ecuación transitoria no lineal de Burgers utilizando un enfoque especial.

Si se da en el dominio periódico , encontramos , tal que ${\ estilo de visualización u (x, 0)}$ $x\in \left[0,2\pi \right)$ $u\in {\mathcal {U}}$

\parcial _{t}u+u\parcial _{x}u=\rho \parcial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right), \para todos t>0

donde ρ es el coeficiente de viscosidad . esto se convierte en

\left\langle \parcial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \parcial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2} +\rho \parcial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V)),\forall t> 0

donde corresponde al producto escalar . La integración por partes y el uso de la periodicidad da $\langle f,g\rangle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)))\,dx$

\langle \parcial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \parcial _{x}u,\parcial _ {x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V)),\forall t>0.

Para aplicar el método de Fourier- Galerkin , elegimos

{\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\ sombrero {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}

{\mathcal {V}}^{N}:={\text{ span}}\left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots,N/2-1\ Correcto\}

donde _ Esto reduce el problema a encontrar , tal que ${\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle$ $u\in {\mathcal {U}}^{N}$

\langle \parcial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \parcial _{x}u ,\parcial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.

Usando la relación de ortogonalidad , donde es el delta de Kronecker , simplificamos los tres elementos anteriores para cada ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk))$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {lk}}$ $k$

{\begin{alineado}\left\langle \parcial_{t}u,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \parcial_{t}\sum_{l}{\ hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =\left\langle \sum _{l}\parcial _{t}{\hat {u}}_{ l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ ikx}\right\rangle &=\left\langle \sum _{l}{\hat {f))_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi {\ hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\ parcial _ {x}e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle {\frac {1}{2}}\left(\sum_{p}{\hat {u}}_{p} e^{ipx}\right)\left(\sum_{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho \parcial_{x}\sum_{l }{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\parcial _{x}e^{ikx}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {1}{2} }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x} ,ike^{ikx}\right\rangle -\left\langle \rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}\right\ rangle \\&=-{\frac {ik}{2}}\left\langle \sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}} _ {q}e^{i\izquierda(p+q\derecha)x},  e^{ikx}\right\rangle -\rho k\left\langle \sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle \\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k ^{2}{\sombrero {u}}_{k}.\end{alineado}}

Recopilamos tres términos para cada uno y obtenemos $k$

2\pi \parcial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p} {\sombrero {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\sombrero {u}}_{k}+2\pi {\sombrero {f}}_{k} \quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.

Dividir por y finalmente obtener $2\pi$

\parcial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_ {p}{\sombrero {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\sombrero {u}}_{k}+{\sombrero {f}}_{k}\quad k \in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.

Con las condiciones iniciales de la transformada de Fourier y la definición de , este par de ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden integrar a lo largo del tiempo (usando, por ejemplo, la técnica de Runge-Kutta ) para encontrar una solución. El término no lineal es una convolución y existen varias técnicas basadas en transformaciones para calcularlo de manera eficiente. ${\sombrero {u}}_{k}(0)$ ${\sombrero {f}}_{k}(t)$

Relación con el método del elemento espectral

Se puede demostrar que si es infinitamente derivable, entonces un algoritmo numérico que usa la transformada rápida de Fourier converge más rápido que cualquier polinomio en una red de tamaño h. Es decir, para cualquier n>0 existe , tal que el error es menor para todos los valores suficientemente pequeños de . Decimos que el método espectral tiene un orden para cualquier n>0. $gramo$ $C_{n}<\infty$ $C_{n}h^{n}$ $h$ $norte$

Dado que el método de elementos espectrales es un método de elementos finitos de muy alto orden , existe una similitud en las propiedades de convergencia. Sin embargo, el método espectral se basa en la expansión de valores propios de un problema de valor límite específico, mientras que el método de elementos finitos no utiliza esta información y funciona para problemas de valor límite elípticos arbitrarios .

Véase también

Método de elementos finitos
malla gaussiana
Método pseudoespectral
método Galerkin
Método de colocación

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Métodos de cuadrícula

Métodos de elementos finitos	Método de elementos finitos método Galerkin Método de Galerkin discontinuo Método de elementos finitos multiescala Método multired
Otros metodos	Método de diferencias finitas Método de volumen finito método de Godunov Método de elementos de contorno

Métodos sin cuadrícula

Notas

↑ Canuto, Hussaini, Quarteroni, Zang, 2007 , pág. 285.

Literatura

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Canuto C., Hussaini MY, Quarteroni A., Zang TA Métodos espectrales. Fundamentos en Dominios Únicos. - Berlín Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Computación científica). — ISBN 3-540-30725-7 .
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