Comparación de topología

La comparación de topologías es un concepto que le permite "comparar" diferentes estructuras topológicas en el mismo conjunto . El conjunto de todas las topologías sobre un conjunto fijo forma un conjunto parcialmente ordenado con respecto a esta relación .

Definición

Sean y dos topologías en un conjunto tal que está contenido en $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $X,$ $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2:$

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

Esto significa que todo conjunto abierto del primer espacio topológico es un conjunto abierto del segundo. En este caso, la topología se denomina más gruesa (a veces más débil o más pequeña ) que En consecuencia, la topología se denomina más fina ( más fuerte , más grande ). Algunos autores, especialmente en los libros de texto de cálculo, utilizan los términos "topología fuerte" y "topología débil" con significados opuestos. [una] $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2.$ $\mathcal T_2$

Una relación binaria define una estructura de orden parcial en el conjunto de todas las topologías posibles del conjunto $\subseteq$ $X.$

Ejemplos

La mejor topología es la topología discreta , en la que todos los conjuntos están abiertos. En consecuencia, la topología más aproximada es la topología trivial (o antidiscreta). $X$

La topología más aproximada en la que se satisface el axioma de separación T 1 se denomina topología T 1 . Tal topología siempre existe, se puede describir explícitamente como una topología cuyos conjuntos cerrados son conjuntos finitos , y también todos $X,$ $X$ $X.$

Propiedades

Sean y dos topologías en un conjunto Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes: $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $X.$

$\mathcal T_1\subconjunto \mathcal T_2$
El mapeo de identidad es continuo . $\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1)$
El mapeo de identidad es un mapeo abierto (o de manera equivalente, un mapeo cerrado ). $\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2)$

Además, estas declaraciones se derivan inmediatamente de las definiciones:

Un mapa continuo sigue siendo continuo si la topología on se reemplaza por una más gruesa (respectivamente, la topología on se reemplaza por una más fina). $f:X\a Y$ $Y$ $X$
Un mapeo abierto permanecerá abierto si la topología on se reemplaza por una más fina (respectivamente, la topología on se reemplaza por una más gruesa). Una declaración similar es cierta para asignaciones cerradas. $f:X\a Y$ $Y$ $X$

Topologías de celosía

El conjunto de topologías no forma una red completa con respecto a la relación , lo que significa que una familia arbitraria de topologías tiene una mejor cota y una mejor cota inferior. El mínimo exacto es simplemente la intersección de las topologías. Por otro lado, la unión de topologías no es necesariamente una topología, y el límite superior mínimo de una familia de topologías es la topología para la cual su unión es una prebase . $X$ $\subseteq.$

Cualquier retícula completa también está acotada , en el caso de las topologías esto corresponde a los conceptos de topología discreta y antidiscreta.

Notas

↑ Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. páginas. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .