Matriz de densidad

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La matriz de densidad (operador de densidad, operador de matriz de densidad, operador estadístico) es una de las formas de describir el estado de un sistema mecánico cuántico . A diferencia de la función de onda , que sólo es adecuada para describir estados puros , el operador de densidad puede definir igualmente tanto estados puros como mixtos . El formalismo basado en el concepto del operador densidad fue propuesto de forma independiente por L. D. Landau [1] y J. von Neumann [2] en 1927 [3] y F. Bloch [4] en 1946 .

Definición

El operador de densidad es un operador autoadjunto no negativo con traza unitaria que actúa sobre un espacio de Hilbert separable . La igualdad de la traza a la unidad corresponde a la normalización unitaria de la probabilidad total en el espacio de estado dado.

La notación estándar para el operador de densidad es la letra . El operador de densidad correspondiente al estado puro es el proyector ortogonal $\rho$ ${\ estilo de visualización | \ psi \ rangle,}$

{\ estilo de visualización \ rho ^ {2} = \ rho,}

que permite representarlo como

{\ estilo de visualización \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}

El estado mixto, correspondiente al caso en que el sistema se encuentra en cada uno de los estados mutuamente ortogonales con probabilidad , se describe mediante un operador de densidad de la forma ${\ estilo de visualización | \ psi _ {j} \ ángulo}$ $p_{j}$

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

dónde

{\ estilo de visualización \ suma _ {j} p_ {j} = 1.}

El valor promedio del observable para el estado dado por la matriz de densidad es la traza del producto de los operadores y : $A$ $\rho$ $A$ $\rho$

\langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )

No es difícil de ver[ expresión simplificada ] que la regla usual para encontrar la media de un observable para estados puros es un caso especial de esta fórmula.

Propiedades

La derivada temporal del operador de densidad del sistema cuántico hamiltoniano se expresa en términos del conmutador con el hamiltoniano como la ecuación ${\frac {\parcial \rho }{\parcial t))={\frac {1}{i\hbar ))[{\mathcal {H)),\rho ]$

Esta ecuación a menudo se llama la ecuación cuántica de Liouville y la ecuación de von Neumann .

La traza de la matriz densidad es igual a uno debido a la normalización de la probabilidad total: ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Tr} (\ rho) = 1}$
La traza del cuadrado de la matriz densidad es igual a uno para estados puros y siempre menor que uno para estados mixtos: ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Tr} (\ rho ^ {2}) \ leq 1}$ y $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Aplicación

El uso del operador de densidad se hace necesario si el estado de un sistema mecánico cuántico, por una u otra razón, no puede considerarse puro. Esta situación se da, en particular, en estadística cuántica . En este caso, el operador de densidad resulta ser un análogo natural de la función de distribución de densidad en el espacio de fases que aparece en la mecánica estadística clásica . Además, hay una interpretación del procedimiento de medición de la mecánica cuántica como una transición del estado puro inicial a un estado mixto . ${\ estilo de visualización | \ psi \ ángulo}$

\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|

donde son los vectores base correspondientes al conjunto completo elegido de cantidades medidas. $|e_{j}\rangle$

Este último es un caso especial de descripción de sistemas cuánticos abiertos , que incluyen, entre otras cosas, sistemas sujetos a observación externa. En términos generales, el formalismo de describir sistemas abiertos que interactúan con el entorno utilizando la matriz de densidad es útil para estudiar el fenómeno de la decoherencia , cuando el estado del sistema no puede considerarse puro y el fenómeno en sí conduce a la descomposición del sistema. elementos de la matriz fuera de la diagonal del operador de densidad (en base a los valores propios del operador de interacción) y, en consecuencia, a la transición del sistema a un estado mixto .

Estados puros y mixtos

En mecánica cuántica , el estado de un sistema cuántico puede describirse mediante un vector de estado . En este caso, se habla de un estado puro . Sin embargo, también es posible para un sistema en un conjunto estadístico de diferentes vectores de estado: por ejemplo, puede haber un 50 % de probabilidad de que el vector de estado sea , y un 50 % de probabilidad de que el vector de estado sea . Este sistema estará en un estado mixto. Las matrices de densidad son especialmente útiles para estados mixtos, ya que cualquier estado, puro o mixto, puede caracterizarse por una matriz de densidad. ${\ estilo de visualización | \ psi \ ángulo}$ ${\ estilo de visualización | \ psi _ {1} \ ángulo}$ ${\ estilo de visualización | \ psi _ {2} \ ángulo}$

Un estado mixto es diferente de una superposición cuántica. De hecho, una superposición cuántica de un estado puro es otro estado puro, por ejemplo, . Por otro lado, un ejemplo de estado mixto sería , donde es un número real que varía aleatoriamente entre diferentes fotones. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $A$ $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $\ theta$

Véase también

Teoría funcional de la densidad

Notas

↑ Landau L. D. , Ztshr. física bd. 45. S. 430 (1927) // Landau L. D. "El problema del amortiguamiento en la mecánica ondulatoria" en el libro "Landau L. D. Colección de obras". Volumen 1. M.: Nauka, 1969. págs. 18-31.
↑ J. von Neumann , Göttingen Nachr., 247 (1927). Véase también J. von Neumann . Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, - M. : Nauka 1964.
↑ Landau introdujo el concepto de matriz de densidad en la mecánica cuántica unos meses antes que von Neumann, pero el formalismo fue desarrollado más sistemáticamente por von Neumann.
↑ F. Bloch , Inducción nuclear. física Rvdo. 70, 460 (1946).

Literatura

Belousov Yu. M., Man'ko V. I. Matriz de densidad. Representaciones y aplicaciones en mecánica estadística. - M. : MIPT, 2004. - 163 p.
Bloom K. Teoría de la matriz de densidad y sus aplicaciones. — M .: Mir, 1983. — 248 p.
Bondarev BV Método de matriz de densidad en la teoría cuántica de fenómenos cooperativos. - M. : Sputnik+, 2001. - 250 p.
Boum A. Mecánica cuántica: fundamentos y aplicaciones. — M .: Mir, 1990. — 720 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 . - § catorce.
Mestechkin MM El método de la matriz de densidad en la teoría de las moléculas. - K. : Naukova Dumka, 1977. - 352 p.
von Neumann J. Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. - M. : Nauka, 1964. - 368 p.