Punto crítico (matemáticas)

El punto crítico de una función derivable es el punto en el que desaparece su diferencial . Esta condición equivale a que en un punto dado se anulen todas las derivadas parciales de primer orden, geométricamente significa que el hiperplano tangente a la gráfica de la función es horizontal. En el caso más simple, n = 1, esto significa que la derivada en este punto es igual a cero. Esta condición es necesaria (pero no suficiente) para que un punto interior de la región sea un punto de mínimo o máximo local de una función diferenciable [1] . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $F'$

El concepto de punto crítico puede generalizarse al caso de aplicaciones diferenciables y al caso de aplicaciones diferenciables de variedades arbitrarias . En este caso, la definición de un punto crítico es que el rango de la matriz jacobiana del mapeo en él es menor que el valor máximo posible igual a . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $f:N^{n}\a M^{m}$ $F$ $\min\{n,m\}$

Los puntos críticos de funciones y mapeos juegan un papel importante en áreas de las matemáticas como ecuaciones diferenciales , cálculo de variaciones , teoría de la estabilidad , así como en mecánica y física. El estudio de los puntos críticos de mapeos suaves es una de las principales cuestiones de la teoría de catástrofes . La noción de punto crítico también se generaliza al caso de funcionales definidos en espacios de funciones de dimensión infinita. Encontrar los puntos críticos de tales funcionales es una parte importante del cálculo de variaciones . Los puntos críticos de las funcionales (que a su vez son funciones) se denominan extremales .

Formal definición

Un punto crítico (o singular o estacionario ) de una aplicación continuamente diferenciable es un punto en el que el diferencial de esta aplicación es una transformación lineal degenerada de los espacios tangentes correspondientes y , es decir, la dimensión de la imagen de la transformación es menor [ 2] . En notación de coordenadas, esto significa que el jacobiano , el determinante de la matriz jacobiana del mapeo , compuesto por todas las derivadas parciales , desaparece en un punto [ 2] . Los espacios en esta definición también pueden ser reemplazados por variedades de las mismas dimensiones. $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x_{0}\en \mathbb{R} ^{n}$ $f_{*}={\frac {\f parcial}{\x parcial))$ $T_{x_{0}}\mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m))$ ${\ estilo de visualización f_ {*} (x_ {0})}$ $\min\{n,m\}$ $n=m$ $F$ ${\frac {\parcial f_{j}}{\parcial x_{i}}}$ $x_{0}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $N^{n}$ $M^{m}$

Teorema de Sard

El valor de un mapeo en un punto crítico se llama su valor crítico . De acuerdo con el teorema de Sard [3] , el conjunto de valores críticos de cualquier mapeo suficientemente suave tiene una medida de Lebesgue cero (aunque puede haber tantos puntos críticos como se quiera, por ejemplo, para un mapeo idénticamente constante, cualquier punto es crítico ). $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$

Asignaciones de rango constante

Si en la vecindad de un punto el rango de una aplicación continuamente diferenciable es igual al mismo número , entonces en la vecindad de este punto hay coordenadas locales con centro en , y en la vecindad de su imagen - el punto - hay coordenadas locales coordenadas con centro en , tal que en ellas el mapeo viene dado por las relaciones [4] [5] : $x_{0}\en \mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $r$ $x_{0}$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $(y_{1},\ldots,y_{m})$ $y_0$ $F$

$y_{1}=x_{1},\ \ldots,\ y_{r}=x_{r},\ y_{{r+1}}=0,\ \ldots,\ y_{m}=0.$

En particular, si , entonces hay coordenadas locales con centro en y coordenadas locales con centro en , de modo que el mapeo es idéntico en ellas. ${\ estilo de visualización r = n = m}$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $(y_{1},\ldots,y_{n})$ $y_0$ $F$

Caso m = 1

En el caso, esta definición significa que el gradiente en un punto dado se desvanece. $metro=1$ $\nabla f=(f'_{{x_{1}}},\ldots,f'_{{x_{n}}})$

Suponga que la función tiene una clase de suavidad de al menos . Un punto crítico de una función f se llama no degenerado si el hessiano en él es distinto de cero. En una vecindad de un punto crítico no degenerado, existen coordenadas en las que la función f tiene una forma normal cuadrática ( lema de Morse ) [6] . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{3}$ ${\Bigl |}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}{\Bigr |}$

Una generalización natural del lema de Morse para puntos críticos degenerados es el teorema de Toujron: en la vecindad de un punto crítico degenerado de una función f que es diferenciable un número infinito de veces ( ) de multiplicidad finita , existe un sistema de coordenadas en el que un La función suave tiene la forma de un polinomio de grado ( podemos tomar el polinomio de Taylor de la función en el punto en las coordenadas originales) [7] [8] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu+1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu+1}}(x)$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$

Para , la pregunta sobre el máximo y el mínimo de la función tiene sentido. Según el conocido enunciado del análisis matemático, una función continuamente diferenciable definida en todo el espacio o en su subconjunto abierto puede alcanzar un máximo (mínimo) local solo en puntos críticos, y si el punto no es degenerado, entonces la matriz en ella debe ser negativamente (positivamente) definida . Este último es también una condición suficiente para un máximo local (respectivamente, mínimo) [1] . $metro=1$ $F$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\Bigl (}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}{\Bigl )}={\Bigl (}{\frac {\parcial ^{2}f} {\parcial x_{i}\parcial x_{j))}{\Bigr)},$ $i,j=1,\ldots,n,$

Caso n = m = 2

En el caso n=m=2 tenemos un mapeo f de un plano sobre un plano (o una variedad de 2 sobre otra variedad de 2). Suponga que la función f es derivable un número infinito de veces ( ). En este caso, los típicos puntos críticos de f son aquellos donde el determinante de la matriz de Jacobi es cero, pero su rango es 1, y por tanto la diferencial de f en tales puntos tiene un kernel unidimensional . La segunda condición de tipicidad es que en la vecindad del punto bajo consideración en el plano de pre-imagen, el conjunto de puntos críticos forma una curva regular S , y en casi todos los puntos de la curva S el núcleo no toca S , y los puntos donde no es así están aislados y en ellos la tangencia tiene el primer orden. Los puntos críticos del primer tipo se denominan puntos de pliegue y los del segundo tipo se denominan puntos de cúspide . Los pliegues y los pliegues son los únicos tipos de singularidades de mapeos de plano a plano que son estables con respecto a pequeñas perturbaciones: bajo una pequeña perturbación, los puntos de pliegues y pliegues solo se mueven ligeramente junto con la deformación de la curva S , pero no no desaparezcan, no degeneren y no se desmoronen en otras singularidades. ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\ estilo de visualización \ ker \, f_ {*}}$ ${\ estilo de visualización \ ker \, f_ {*}}$

El teorema de Whitney. Si es un punto de pliegue o un punto de cúspide, entonces sus vecindades tienen coordenadas locales con centro en , y en la vecindad de su imagen hay coordenadas locales con centro en , tal que el mapeo en ellas está dada por las relaciones $x_{0}$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{0}$ $y_0$ ${\ estilo de visualización (y_{1},y_{2})}$ $y_0$ $F$

$y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (doblar),

$y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (asamblea).

Este teorema fue probado por Hassler Whitney en 1955 [9] y se convirtió en uno de los primeros resultados de la teoría de las catástrofes [10] . Una versión moderna de la prueba de este teorema, basada en la aplicación de resultados posteriores en la teoría de singularidades de funciones diferenciables, se da, por ejemplo, en [11] .

El teorema de Whitney muestra que plegar y juntar se realizan como características de proyectar una superficie lisa, dada en el espacio por la ecuación , sobre un plano (plano horizontal en la figura) a lo largo de un eje (eje vertical en la figura). En coordenadas normales del teorema de Whitney, la función para el pliegue y para el pliegue. El conjunto de puntos críticos (curva S en la superficie F = 0) se muestra en rojo y su imagen en el plano de la imagen se muestra en magenta. En el caso del ensamblaje, la imagen de la curva S tiene una característica llamada cúspide (o cúspide). ${\ estilo de visualización (x_{1},x_{2},y_{1})=0}$ $F(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ ${\ estilo de visualización (x_ {2}, y_ {1})}$ $x_{1}$ $F=x_{1}^{2}-y_{1}$ ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1))$

Véase también

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, — Cualquier edición.
Zorich V. A. Análisis matemático, - Cualquier edición.
Brecker T., Lander L. Gérmenes diferenciables y catástrofes, - Cualquier edición.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Funciones suaves, series formales y teoremas de Whitney . Estera. ed., 2016, n.° 3(79), 49–65.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Funciones suaves, series formales y teoremas de Whitney (final) . Estera. arreglo, 2017, n.° 3(83), 13–27.

Notas

↑ 1 2 Zorich V. A. Análisis matemático, volumen 1 - Cualquier edición, cap. VIII.
↑ 1 2 Zorich V. A. Análisis matemático, volumen 1 - Cualquier edición, cap. VIII, párr. cuatro
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, párrafo 2.
↑ Zorich V. A. Análisis matemático, volumen 1 - Cualquier edición, cap. VIII, párr. 6 (teorema de rango).
↑ Broker T., Lander L. Brotes y desastres diferenciados, - cualquier edición.
↑ Zorich V. A. Análisis matemático, volumen 1 - Cualquier edición, cap. VIII, párr. 6.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables.
↑ A. M. Samoilenko, Sobre la equivalencia de una función suave a un polinomio de Taylor en una vecindad de un punto crítico de tipo finito, Funkts. análisis y sus aplicaciones, 2:4 (1968), pp. 63-69.
↑ Whitney H. Sobre las singularidades de las asignaciones de espacios euclidianos. I. Mapeos del Plano en el Plano. Anales de Matemáticas, Segunda Serie, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, párrafo 1.
↑ N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Funciones suaves, series formales y teoremas de Whitney (final) . Educación matemática , 2017, n.° 3(83), 13–27.