Ábaco

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Ábaco ( ábaco ruso ): un dispositivo mecánico simple (tablero de conteo con huesos) para realizar cálculos aritméticos , según una versión, provienen del dispositivo de conteo chino suanpan , según otra, en realidad son de origen ruso.

Representar un marco que tiene un cierto número de radios; se les ensartan nudillos, que suelen ser de 10 piezas cada uno. Las cuentas son uno de los primeros dispositivos informáticos y se utilizaron ampliamente en el comercio y la contabilidad hasta finales del siglo XX , hasta que fueron reemplazadas por calculadoras . Hoy en día se usa muy raramente, por ejemplo, en tiendas rurales y de pueblos [1] .

Historia

El ábaco más antiguo (de veinte palos de marfil) fue descubierto durante excavaciones arqueológicas en Mongolia. Según los resultados del análisis, se comprobó que fueron elaborados hace más de tres mil años [2] .

Nikolaas Witsen en un momento, sobre la base del parecido externo con Suanpan , sugirió que el ábaco vino de China a través de los tártaros de la Horda Dorada en el siglo XIV [3] e incluso nombra al que los introdujo por primera vez en Rusia: el primero de los Stroganov [4] . Sin embargo, I. G. Spassky señala diferencias con suanpan , en particular, que en las cuentas se utilizaba el sistema numérico decimal [5] . Él creía que el ábaco se originó en el dispositivo de " cuenta de la junta ", que, según su suposición, surgió en el estado moscovita en el siglo XVI [6] .

La primera mención conocida de cuentas se encuentra en el "Libro Censal del Tesoro de la Casa del Patriarca Nikon", compilado en 1658 , donde se les llama "cuentas" [7] [8] .

Sistema numérico y sistema de codificación

En las cuentas rusas, se utiliza un sistema numérico decimal posicional con codificación unaria no posicional dentro de cada dígito.

Cada fila de huesos representa un dígito numérico , que aumenta hacia arriba desde la aguja con cuatro huesos de unos a millones (con siete filas de números enteros), y hacia abajo disminuye de décimas a milésimas. El valor máximo para cada fila es diez veces el peso del dígito (para el dígito de las unidades, el valor máximo es 10 si todas las fichas están a la izquierda, para las decenas es 100, etc.). El "conjunto" del número se lleva a cabo desplazando los huesos desde el borde derecho de la barra hacia la izquierda.

La varilla, en la que solo hay 4 huesos, se usó para cálculos por la mitad . La mitad era igual a la mitad de un dinero , es decir, un cuarto de un centavo . En consecuencia, cuatro nudillos equivalían a un kopek [9] . Además, esta varilla se usó para convertir libras a libras (1 pud = 40 libras). Además, esta varilla puede servir como separador de las partes enteras y fraccionarias del número escrito en las cuentas y no se usa en los cálculos.

Por lo tanto, el número máximo que se puede anotar en un ábaco con siete filas de números enteros es 11.111.111,110 .

Después de sumar un bit del décimo hueso a nueve huesos, se realiza la operación de escribir una unidad de transferencia al siguiente bit, que consta de tres acciones:

moviendo un nudillo hacia la izquierda, el décimo nudillo se suma a nueve nudillos;
desplazamiento a la derecha de los diez nudillos, el bit anterior se restablece a cero;
desplazar a la izquierda de un nudillo al siguiente dígito, se registra una unidad de transferencia.

Siguiendo esta regla, se excluye cualquier representación ambigua de los números. Desde el punto de vista de la teoría de los sistemas numéricos , para acciones en un sistema numérico posicional decimal codificado por unidad exponencial , nueve huesos son suficientes, como también escribe Ya. I. Perelman [10] , mientras que la operación de escribir una transferencia unidad se realizaría en dos acciones en lugar de tres acciones:

desplace a la izquierda de un nudillo al siguiente bit, se registra una unidad de transferencia;
al desplazar nueve huesos a la derecha, el dígito anterior se restablece a cero;

pero para la conveniencia de contar (en particular, para obtener convenientemente una suma de 10, que es necesaria para transferir una descarga al restar), se eligió el número de nudillos igual a diez en las cuentas rusas.

Reglas de conteo

Observaciones generales

Con la ayuda de las cuentas, dentro de su capacidad, puede realizar todas las operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación, división . Sin embargo, en la práctica, es conveniente y rápido solo sumar y restar: la operación de multiplicar por un número arbitrario es bastante complicada y, en general, es probable que la división lleve más tiempo que realizar la misma operación en papel utilizando la “ división en columnas ”. . Sin embargo, hay un número bastante grande de casos especiales en los que el ábaco es bastante aplicable para la multiplicación y la división.

Además, hay que tener en cuenta los siguientes puntos:

Las cuentas, en principio, no están destinadas a manipulaciones con números negativos. Por lo tanto, cualquier operación debe reducirse a números positivos y el signo, si es necesario, simplemente debe tenerse en cuenta por separado.
En operaciones de multiplicación y división, es bastante inconveniente tener en cuenta la posición del separador decimal para ambos operandos . Como resultado, al realizar la multiplicación y división de fracciones decimales, solo el segundo o ambos operandos se reducen a un número entero, es decir, el separador decimal en ellos simplemente se ignora. Una vez completada la operación, la posición del separador decimal se restaura manualmente.

Números "establecidos"

La representación de los números en las cuentas y el orden de marcación se describen anteriormente. Solo debe tenerse en cuenta que la regla para la ubicación de los dígitos de un número en los cables (es decir, la colocación de un solo dígito sin falta frente a un cable con cuatro huesos) en los cálculos prácticos a menudo no es necesario observar . Además, en el proceso de cálculos, a veces es conveniente, en lugar de volver a escribir un número, simplemente mover mentalmente el separador de las partes enteras y fraccionarias a otro lugar.

Algunos manuales de cálculo con ábaco recomiendan la siguiente "mejora": perforar una serie de pequeños orificios en el marco del ábaco de la izquierda, ubicados frente a los espacios entre los alambres. Al calcular, un objeto, por ejemplo, un clavo o un sujetapapeles enderezado, se coloca en un agujero opuesto al espacio que actualmente separa las unidades y las décimas. Así, en cualquier momento, la posición del separador decimal está claramente marcada y se puede cambiar fácilmente.

Adición

De acuerdo con una de las formas posibles, la adición en las cuentas se realiza "de abajo hacia arriba" (desde los dígitos más bajos hacia los más antiguos). El primer término se “teclea” en las cuentas, después de lo cual, poco a poco, desde el dígito menos significativo hasta el más alto, se realizan las siguientes acciones:

En el alambre correspondiente a la categoría, se lanzan hacia la izquierda tantos huesos como unidades haya en la categoría correspondiente del segundo término.
Si no hay suficientes huesos en el alambre para realizar la primera acción, se dejan tantos huesos en el alambre de la izquierda como no había suficientes, y en el siguiente alambre (más alto) se lanza un hueso a la izquierda.
Si como resultado de la acción (tanto el primero como el segundo, y este) hay 10 huesos en el cable a la izquierda, entonces todos los huesos en este cable se arrojan a la derecha y al siguiente (más alto) alambre, un hueso se lanza adicionalmente a la izquierda.

Después de realizar las acciones con todos los dígitos, el número "marcado" en las cuentas será el resultado de la suma.

Hay otra forma: suma de dígitos más altos a dígitos más bajos [11] - ver animación.

Resta

La resta en las cuentas se realiza "de arriba hacia abajo", es decir, de los dígitos más altos a los más bajos. Debido a la inadecuación de las cuentas para trabajar con números negativos, siempre es necesario restar un número positivo más pequeño de un número positivo más grande. Si desea restar uno más grande de uno más pequeño, los números deben intercambiarse y debe dejarse el signo "en mente".

En las cuentas, se "escribe" el reducido, luego de lo cual, poco a poco, desde el dígito más significativo hasta el más joven, se realizan las siguientes acciones:

En el hilo correspondiente a la categoría, se lanzan hacia la derecha tantos huesos como unidades haya en la categoría correspondiente del sustraendo.
Si no hay suficientes huesos en el cable para realizar la primera acción, la descarga se transfiere: (10 - n ) los huesos se dejan a la izquierda, donde n es el número de huesos "faltantes" (para no hacer el segundo resta en su mente, puede transferir los diez huesos completos en este cable a la izquierda, luego descartar el número de huesos que faltan), y en el cable de arriba, se descarta un hueso a la derecha
Si, durante la transferencia, no hay suficientes huesos en el cable correspondiente al dígito más alto, entonces se realiza la transferencia al dígito siguiente (incluso más alto) y así sucesivamente hasta que uno de los cables tenga suficientes huesos. Entonces, por ejemplo, al restar (1001 − 3), los primeros 8 huesos quedarán en el cable del dígito menos significativo y se requerirá la transferencia al segundo dígito, luego al tercero, y solo después de eso habrá suficiente hoyos en el alambre del cuarto dígito para completar la operación.

Multiplicación

La multiplicación por un solo dígito generalmente se puede reemplazar sumando el multiplicando a sí mismo la cantidad adecuada de veces. Los números enteros de varios dígitos se multiplican poco a poco, de forma similar a la "multiplicación de columnas":

El multiplicador es uno de los dos números que contiene más dígitos distintos de cero.
El multiplicador se suma a sí mismo tantas veces como unidades haya en el dígito más bajo (el primero) del multiplicador.
Para cada dígito siguiente del multiplicador, el multiplicando se suma al número que ya está en las cuentas el número correspondiente de veces, pero con un desplazamiento de un dígito hacia arriba. Es decir, para el dígito de las decenas, la suma se realiza con un desplazamiento de un dígito, las centenas, de dos, y así sucesivamente.
Si el dígito correspondiente del multiplicador es cero, entonces, por supuesto, no se realiza ninguna suma, sino que simplemente se desplaza un cable hacia arriba y se realiza la transición al siguiente dígito.
Cuando se realizan sumas para todos los dígitos distintos de cero del multiplicador, el resultado de la multiplicación se obtendrá en las cuentas. En este caso, la posición del separador decimal debe tenerse en cuenta en la posición en la que estaba durante las primeras sumas (es decir, los desplazamientos del separador decimal se tienen en cuenta solo en las operaciones intermedias).

Si se multiplican números no enteros, la operación se realiza exactamente de la misma manera (los cálculos se realizan con números enteros, los separadores decimales simplemente se ignoran). El separador decimal se coloca en la posición correcta manualmente al escribir el resultado.

A pesar de lo engorroso del algoritmo, con una habilidad desarrollada, la ganancia de tiempo en comparación con el cálculo en papel puede ser significativa.

División

La división en general se reemplaza por la resta. El algoritmo general para dividir números enteros es el siguiente:

El dividendo se escribe en las cuentas en la parte inferior de ellos.
De los primeros dígitos del dividendo, se selecciona un grupo de tal tamaño que el número compuesto por él sea mayor que el divisor, pero menor que el divisor multiplicado por diez. El separador decimal se transfiere mentalmente al dígito menos significativo de este grupo.
Al número marcado se le resta el divisor (teniendo en cuenta el separador establecido) hasta que el reducido sea menor que el divisor. Con cada resta exitosa en el cable superior, la puntuación se transfiere a la izquierda por un hueso.
Al completar la resta, el separador decimal se mueve mentalmente un cable hacia abajo. Además, la resta del divisor se repite para obtener uno nuevo reducido, y el resultado se ingresa en el siguiente cable (segundo, luego tercero, etc.).
El párrafo anterior se repite hasta terminar el número marcado en las cuentas, o hasta obtener el número requerido de dígitos del resultado.
En los cables superiores, al completar todas las operaciones, se escribirá el resultado de la división. La posición del separador decimal es la misma que la del dividendo.

Si el dividendo es un múltiplo del divisor, entonces la operación terminará cuando se alcance el decimal menos significativo del dividendo y todos los huesos, excepto aquellos sobre los que se acumule el resultado, estarán a la derecha. En caso contrario, quedará en las cuentas el número correspondiente al resto de la división. Si es necesario, puede obtener lugares decimales del resultado fraccionario siempre que haya suficientes transferencias en las cuentas (cuando no hay ningún lugar para mover el separador decimal hacia abajo, puede mover artificialmente el resto acumulado hacia arriba para continuar dividiendo; de esta manera puede obtener hasta 7-8 dígitos del resultado).

Por ejemplo, calculamos 715/31:

Recaudamos en las cuentas 715 en la parte inferior (arriba del cable con cuatro nudillos).
De los primeros dígitos, seleccionamos un número mayor que 31 y menor que 310, estos son dos dígitos, 71. Mentalmente colocamos el separador decimal después de la unidad.
Resta 31 de 71. Esto se puede hacer dos veces. En el alambre superior, descartamos dos huesos a la izquierda. el resto es 9
Quedan 9, que es menos de 31. Desplace mentalmente el separador decimal un cable hacia abajo. El siguiente decremento es 95.
Resta 31 de 95. Esto se puede hacer tres veces. En el segundo cable desde arriba, descartamos tres nudillos a la izquierda. el resto es 2
2 es menor que 31. La parte entera del dividendo se usa completamente. Si es suficiente para obtener una solución con un resto, puede arreglar el resultado: 2 y 3 se escriben en los dos cables superiores, 2 permanece en el dividendo, es decir, el resultado es 23 y 2 en el resto, o . ${23}{\tfrac {2}{31}}$
Si se necesitan los siguientes lugares decimales, continuamos con la operación: cambiamos el separador decimal un dígito hacia abajo, pero como resultado obtenemos 20, que es menos que 31. Por lo tanto, dejamos cero en el tercer cable desde arriba (todos los nudillos a la derecha) y mueva el separador hacia abajo otro cable.
Resta 31 de 200 - seis veces. En el cuarto cable, se deposita 6.
Desplace el separador decimal un dígito más. 140 cuentas.
Resta 31 de 140. Se deposita 4 en el quinto cable.
En las cuentas quedan 16. No hay ningún lugar para cambiar los dígitos: las transferencias se han agotado (por lo general, solo hay tres dígitos debajo de la transferencia de 4 huesos en las cuentas). Dado que 16 es más de la mitad de 31, el siguiente dígito será 5 o más, por lo que puedes fijar el resultado redondeado: 23,065. Si necesita urgentemente obtener los siguientes dígitos del resultado, deberá transferir el resto de 16 hacia arriba y continuar contando desde allí.

Como en el caso de la multiplicación, al dividir fracciones decimales, los argumentos se reemplazan con números enteros y los cálculos se realizan exactamente en el mismo orden, y el separador decimal se transfiere manualmente al lugar correcto en el resultado.

Trucos simplificados de multiplicación y división

La multiplicación arbitraria y especialmente la división en cuentas no es muy conveniente. Sin embargo, hay una serie de casos especiales en los que estas operaciones se realizan mucho más fácilmente:

La multiplicación y división por 10 se reemplaza moviendo el dígito del número uno hacia arriba o hacia abajo. En este caso, no hay necesidad de transferir realmente el registro; basta con mover mentalmente el separador de las partes enteras y fraccionarias del número en un cable, respectivamente, hacia abajo o hacia arriba. En los manuales de cálculo sobre las cuentas, se recomendaba, mientras se hacían los cálculos, mantener el dedo de la mano izquierda sobre el marco de las cuentas opuesto al espacio entre los hilos correspondientes a unidades y décimas, o marcar la posición actual del separador decimal con algún medio improvisado (un botón, un clavel insertado en las puntuaciones especialmente hechas en el agujero del marco, etc.).
La multiplicación por 2 se reemplaza sumando el número a sí mismo: . $39\cdot 2=39+39=78$
Multiplicar por 3 es sumarse a sí mismo dos veces: . $39\cdot 3=39+39+39=117$
Multiplica por 4 - duplicando dos veces: . $18\cdot 4=(18+18)\cdot 2=36+36=72$
Multiplica por 5 - multiplica por 10 y divide por 2: . $26\cdot 5={\tfrac {26\cdot 10}{2}}=260/2=130$
Multiplicar por 6 - multiplicar por 5 y sumar el número original :. $26\cdot 6=26\cdot 5+26={\tfrac {26\cdot 10}{2))+26=130+26=156$
Multiplicación por 7 - tres veces duplicando y restando el número original :. $13\cdot 7=26\cdot 2\cdot 2-13=52\cdot 2-13=104-13=91$
Multiplicar por 8 es duplicar tres veces: . $13\cdot 8=13\cdot 2\cdot 2\cdot 2=26\cdot 2\cdot 2=52\cdot 2=104$
Multiplicar por 9 - multiplicar por 10 y restar el número original: . $23\cdot 9=23\cdot 10-23=230-23=207$
La división por 2 se realiza de los bits menos significativos a los más significativos. En cada hilo se descarta la mitad de los huesos existentes. Si hay un número impar de huesos en el cable, entonces el hueso "extra" también se descarta y se transfieren cinco huesos más a la izquierda en el cable de abajo (en el dígito menos significativo). Por ejemplo, al dividir 57 entre 2, hay un número impar en el dígito de las unidades, por lo que se descartarán 4 huesos (quedarán 3) y se agregarán 5 en el dígito de las décimas, luego se descartarán tres de cinco hoyos. en el dígito de las decenas, quedarán dos, y además en el dígito único se agregará 5, se convertirá en 8. Por lo tanto, la respuesta correcta es: 28.5.
La división por 3 se reemplaza multiplicando el número original por 3 y sumando secuencialmente el resultado a sí mismo con un desplazamiento hacia abajo tantas veces como sea necesario en el resultado. Al cambiar "fuera de los límites de las cuentas", el número agregado se redondea. El resultado de la suma se debe dividir por 10. (El hecho de que se utilice ). $x/3=0{,}3(3)\cdot x={\tfrac {3{,}3(3)\cdot x}{10}}$
Dividir por 4 es dividir dos veces por 2.
Dividir por 5 es dividir por 10 y multiplicar por 2.
La división por 6 es la división sucesiva por 2 y 3.
La división por 7 se realiza de acuerdo con el algoritmo general (resta de siete bit a bit).
La división por 8 se reemplaza por la división por 2 tres veces.
La división por 9 se realiza sumando el número a sí mismo, desplazándose poco a poco hacia abajo tantas veces como sea necesario en el resultado. El resultado de la suma se divide por 10. (Se utiliza la razón ). $x/9=0{,}1(1)\cdot x={\tfrac {1{,}1(1)\cdot x}{10))$
La multiplicación y división por cualquier potencia de dos se realiza duplicando o dividiendo sucesivamente por 2, respectivamente.
La multiplicación por un número de dos dígitos de dos dígitos idénticos " NN " (11, 22, 33, 44, etc.) se reemplaza por la multiplicación y la suma con un desplazamiento:

Primero, el valor original se multiplica por N de cualquier forma conveniente.
Luego, el separador decimal se transfiere un bit hacia abajo y el resultado de la multiplicación se suma a sí mismo, pero con un desplazamiento hacia abajo en un cable (la suma con un desplazamiento hacia abajo es más conveniente, ya que la suma se realiza de abajo hacia arriba y el el número adicional de huesos siempre es visible un cable más arriba; no es necesario recordarlo).

A menudo es posible, con la ayuda de manipulaciones simples, reducir la operación calculada a una combinación de casos especiales de multiplicación y división. Por ejemplo, multiplicar por 25 puede reemplazarse por multiplicar por 100 y dividir por 2 por 2. Cuando uno o ambos operandos están cerca de números "convenientes" para los cálculos, puede combinar los casos especiales de multiplicación y división con suma y resta. Pero la posibilidad de tales trucos depende en gran medida del nivel de entrenamiento de la calculadora. En realidad, el arte de calcular con el ábaco radica en la capacidad de reducir cualquier cálculo requerido a una combinación de elementos fácilmente contables.

Ejemplo de cuenta

Un ejemplo bien conocido del uso de cuentas para resolver problemas se da en la historia de Anton Chekhov " Tutor " [12] . El tutor de gimnasio Egor Alekseich Ziberov le pidió al joven Petya Udodov la tarea:

El comerciante compró 138 arshins de tela negra y azul por 540 rublos. La pregunta es, ¿cuántos arshins compró ambos, si el azul cuesta 5 rublos por arshin y el negro cuesta 3 rublos?

Petya no pudo resolverlo. Sin embargo, el propio tutor no pudo hacer frente, aunque sabía que “la tarea, de hecho, es algebraica ” y “se puede resolver con x e y”. De hecho, si asumimos que - esta es la cantidad de tela azul y - negra, podemos componer el siguiente sistema de ecuaciones : $X$ $y$

{\begin{casos}x+y=138,\\5x+3y=540.\end{casos))

Una vez resuelto, obtenemos la respuesta: es decir, 75 arshins de tela negra y 63 arshins de azul. ${\ estilo de visualización y = 75, x = 63}$

Sin embargo, tal solución a este problema conduce a la pérdida de su lógica interna. El padre del niño, el secretario provincial jubilado Udodov, demostró otra solución:

“Puedes resolverlo sin álgebra”, dice Udodov, extendiendo su mano hacia el ábaco y suspirando. “Aquí, déjame ver…

Hace clic en el ábaco y obtiene 75 y 63, que es lo que necesitaba.

- Aquí, señor ... en nuestra opinión, de una manera no aprendida.

La solución "no aprendida" en sí no la da Chéjov en la historia, pero se puede reconstruir fácilmente, ya que el problema tiene una solución aritmética estándar basada en la lógica y que consiste en realizar seis operaciones aritméticas. Supongamos que toda la tela comprada fuera azul. Entonces un lote de 138 arshins costaría 690 rublos ( ). Pero esto es 150 rublos ( ) más de lo que realmente se pagó. Un "gasto excesivo" de 150 rublos indica que la fiesta tenía tela negra más barata: 3 rublos por arshin. Hay tanto de esta tela que de la diferencia de dos rublos ( ) obtenemos 150 rublos "extra". Es decir, 75 arshins ( ) de tela negra. Ahora podemos encontrar la cantidad de tela azul: 63 arshins ( ). ${\ estilo de visualización 5 \ veces 138}$ ${\ estilo de visualización 690-540}$ ${\ estilo de visualización 5-3}$ ${\ estilo de visualización 150/2}$ ${\ estilo de visualización 138-75}$

"Hacer clic en las cuentas", realizado por Udodov, se veía así:

El número 138 está "marcado" en las cuentas: un hueso en el primer alambre, tres en el segundo, ocho en el tercero.
Se multiplica por 138 por 5. Para simplificar el conteo, en cambio, primero multiplica 138 por 10, sin hacer ninguna manipulación, simplemente transfiriendo mentalmente todos los huesos una fila más arriba, después de lo cual se divide por 2: en cada cable, comenzando desde abajo, la mitad de los huesos están doblados hacia atrás. En el tercer alambre, donde se depositan ocho huesos, se echan hacia atrás cuatro; dos de los tres huesos se doblan hacia atrás en el alambre del medio, mientras que uno de ellos se reemplaza mentalmente por diez inferiores y se divide por la mitad, es decir, se agregan cinco huesos a los del siguiente alambre; se quita un hueso del alambre superior y se agregan cinco a los huesos del segundo alambre. Como resultado, no hay huesos en el alambre superior, quedan seis en el segundo y nueve en el tercero. . ${\ estilo de visualización 138 \ veces 5 = 690}$
540 se resta de 690: cinco huesos se quitan del segundo alambre, cuatro del tercero. . ${\ estilo de visualización 690-540 = 150}$
150 se divide por la mitad (método - ver arriba). . ${\ estilo de visualización 150/2 = 75}$
75 se resta de 138. 138 se "recluta" nuevamente, se descarta en el segundo cable, pero solo hay tres. Cuatro no son suficientes, por lo que quedan seis huesos en el cable (si Udodov es demasiado perezoso para restar cuatro de diez en su mente, puede tirar los diez enteros en el segundo cable a la izquierda y descartar los cuatro huesos "subsustraídos" de él ), y se quita un hueso del primer alambre. Ahora, en el tercer cable, de ocho huesos, se descartan cinco. . ${\ estilo de visualización 138-75 = 63}$

Se recomienda a los maestros que usen problemas matemáticos de obras de arte, incluida la historia de Chéjov "Tutor" [13] [14] en las lecciones de la escuela primaria .

Véase también

Notas

↑ Noticias a las 20:00 del 12/01/2021 - YouTube
↑ Yu. Sitsko. El ábaco más antiguo // "Komsomolskaya Pravda" del 12 de septiembre de 1986.
↑ Spassky, 1952 , pág. 272.
↑ Spassky, 1952 , pág. 417.
↑ Spassky, 1952 , pág. 270.
↑ Spassky, 1952 , pág. 369-370.
↑ Libro de censo del tesoro de la casa del patriarca Nikon // "Vremennik de la Sociedad Imperial de Historia y Antigüedades Rusas de Moscú", libro 15 . - M. , 1852. - S. 117.
↑ Spassky, 1952 , pág. 320.
↑ Computadoras de la antigüedad (enlace inaccesible) . Archivado desde el original el 27 de julio de 2009. (indefinido)
↑ Ya. I. Perelman. Aritmética entretenida. Tarea número 7 . Consultado el 27 de agosto de 2010. Archivado desde el original el 17 de julio de 2011. (indefinido)
↑ Kiryushin, 1925 , pág. 17-23.
↑ Perelman Ya. I. Aritmética entretenida: Adivinanzas y curiosidades en el mundo de los números. - M.-L.: Gonti, 1938. - S. 30-33.
↑ Sergeeva L. A. Potencial estético de las lecciones de matemáticas en la escuela primaria // Implementación de las funciones educativas y educativas de una escuela primaria moderna: una colección electrónica de artículos basada en los materiales de la X conferencia científica y práctica de toda Rusia "Lecturas pedagógicas en la memoria del profesor A. A. Ogorodnikov" (ciudad del 6 de febrero de 2019, Perm, Rusia) / bajo el total. edición L. V. Selkina; Universidad Estatal Humanitaria y Pedagógica de Perm. - Permanente, 2019. - S. 187-188.
↑ Shvetsova R. F. Obras literarias en lecciones de matemáticas en la escuela primaria // Implementación del Estándar Educativo del Estado Federal en la escuela primaria: enfoques innovadores para la organización del proceso educativo: una colección de actas de la Conferencia Científica y Metodológica Republicana (28 de marzo de 2019 , Yakutsk). - Kirov: MCITO, 2019. - Pág. 109.

Literatura

Kiryushin E.D. Cálculos en cuentas . - 6ª ed. - M. : Centro. T-vo "Editorial Cooperativa", 1925.
Spassky I. G. Origen e historia de las cuentas rusas // Investigación histórica y matemática . - M. : GITTL, 1952. - Nº 5 . - S. 269-420 .

Enlaces

"Cómo contar con las cuentas"

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