Sistema de numeración posicional

El sistema numérico posicional ( numeración posicional, local ) es un sistema numérico en el que el valor de cada carácter numérico ( dígito ) en una entrada de número depende de su posición ( dígito ) en relación con el separador decimal . Los sistemas posicionales, en comparación con otros, permiten simplificar significativamente los algoritmos para realizar operaciones aritméticas y acelerar los cálculos. Su creación y distribución jugaron un papel importante en el desarrollo de las ciencias exactas: matemáticas , astronomía y física .

Sistemas numéricos en la cultura
indoárabe
árabe tamil birmano	Khmer Laosiano Mongol Tailandés
asiático del este
Chino Japonés Suzhou Coreano	Palos vietnamitas para contar
Alfabético
Abjadia Armenio Aryabhata Cirílico Griego	Georgiano Etíope Judío Akshara Sankhya
Otro
Babilónico Egipcio Etrusco Romano Danubiano	Ático Kipu Maya Egeo KPPU Símbolos
posicional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-posicional
simétrico
sistemas mixtos
Fibonacci
no posicional
Singular (unario)

Historia

Históricamente, la primera invención de la numeración posicional basada en el significado local de los números se atribuye a los sumerios y babilonios . Independientemente de las civilizaciones euroasiáticas , el sistema numérico posicional vigesimal fue inventado por los indios mayas . En un período posterior, tal numeración fue desarrollada por los hindúes y tuvo consecuencias inestimables en la historia de la civilización . Estos sistemas incluyen el sistema numérico decimal , cuyo surgimiento está asociado con contar con los dedos . En la Europa medieval, apareció a través de comerciantes italianos, quienes a su vez lo tomaron prestado de los árabes.

Definiciones

El sistema numérico posicional está definido por un número entero , llamado base del sistema numérico. Un sistema numérico con base también se denomina -ario (en particular, binario , ternario , decimal , etc.). $b > 1$ $b$ $b$

Un entero sin signo en el sistema numérico -ario se representa como una combinación lineal finita de potencias del número [1] : $X$ $b$ $b$

x=\sum_k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, donde son números enteros, llamados dígitos , que satisfacen la desigualdad

\Alaska

0 \leq a_k \le b-1.

Cada elemento básico en tal representación se llama dígito ( posición ), la antigüedad de los dígitos y sus dígitos correspondientes está determinada por el número del dígito (posición) (el valor del exponente). $\b^k$ $\k$

Usando posiciones en el sistema numérico -ary, puede escribir números enteros en el rango de a , es decir todos los números diferentes. $norte$ $b$ ${\ estilo de visualización 0}$ $b^n-1$ $b^n$

Escribir números

Si no hay discrepancias (por ejemplo, cuando todos los dígitos se presentan en forma de caracteres escritos únicos), el número se escribe como una secuencia de sus dígitos -arios, enumerados en orden descendente de precedencia de dígitos de izquierda a derecha [1 ] : $X$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\puntos a_{0}.

En números distintos de cero , generalmente se omiten los ceros iniciales. $X$

Escribir números en sistemas numéricos con base hasta 36 inclusive, números arábigos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y, luego, letras del alfabeto latino (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). En este caso, a = 10, b = 11, etc., a veces x = 10.

Cuando se trabaja con varios sistemas numéricos a la vez, para distinguirlos, se suele indicar la base del sistema como un subíndice, que se escribe en sistema decimal:

123_{10}

es el número 123 en notación decimal ;

173_8

- el mismo número en el sistema numérico octal ;

1111011_2

- el mismo número, pero en sistema binario ;

0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}

- el mismo número, pero en el sistema numérico decimal con codificación binaria de dígitos decimales ( BCD );

11120_{3N}

- el mismo número, pero en un sistema numérico ternario asimétrico ;

1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}

- el mismo número, pero en el sistema numérico ternario simétrico , los signos "i", "7", "2" y "−" denotan "−1", los signos "1" y "+" denotan "+1" .

En algunas áreas especiales, se aplican reglas especiales para especificar la base. Por ejemplo, en programación, el sistema hexadecimal se denota por:

en ensamblador y notaciones generales no vinculadas a un lenguaje específico, la letra h (de h exadecimal) al final del número (sintaxis de Intel);
en Pascal , el signo "$" al comienzo del número;
en C y muchos otros lenguajes, una combinación de 0x o 0X (de he x adecimal) al principio.

En algunos dialectos del lenguaje C, por analogía con "0x", el prefijo "0b" se usa para denotar números binarios (la notación "0b" no está incluida en el estándar ANSI C ).

En las cuentas rusas , para escribir números en el sistema numérico posicional exponencial decimal, se utiliza el sistema de registro (representación) decimal unario para dígitos decimales con un dígito decimal unario en exceso "1111111111" = 10_ 10 para cada dígito.

Ejemplos

2 - binario (en matemáticas discretas , informática , programación )
3 - sistema numérico ternario
4 - sistema numérico cuaternario
7 - septal (en música para indicar los nombres de las notas) [2]
8 - octal (en programación )
10 - sistema numérico decimal
12 - duodecimal (muy usado en la antigüedad, en algunas áreas privadas todavía se usa hoy)
16 - hexadecimal (más común en programación , así como en fuentes )
20 - vigesimal (utilizado por los mayas y aztecas )
40 - sistema numérico cuarenta (usado en la antigüedad: en particular, "cuarenta cuarenta" = 1600)
60 - sexagesimal (utilizado en la antigua Babilonia, y más tarde por los antiguos astrónomos griegos para medir las coordenadas angulares de las estrellas ( longitud y latitud ) y para medir el tiempo). Y hoy se usa para medir la hora del día.
100 - sistema numérico centésimo (usado en el idioma Ithkuil ) .

Propiedades

El sistema de numeración posicional tiene una serie de propiedades:

La base del sistema numérico en sí siempre se escribe como 10; por ejemplo, en el sistema binario, 10 significa el número 2. Esta declaración no se aplica al sistema numérico unario , que usa solo un dígito.
Para escribir el número x en el sistema numérico b -ario, se requieren dígitos, donde significa tomar la parte entera del número. $\lpiso\log_b x\rpiso + 1$ $\lpiso\cdot\rpiso$
Puede comparar números escritos en el sistema numérico posicional poco a poco, después de agregarlos con ceros a la izquierda de la misma longitud. En este caso, la comparación va del dígito más significativo al más joven hasta que el dígito de un número es mayor que el dígito correspondiente del otro. Por ejemplo, para comparar los números 321 y 312 en el sistema numérico decimal, los dígitos de los mismos dígitos se comparan de izquierda a derecha:
- 3 = 3: el resultado de comparar números en este paso no está definido;
- 2 > 1: el primer número es mayor (independientemente de los dígitos restantes).

Por lo tanto, el orden natural de los números corresponde al orden lexicográfico de sus entradas en el sistema numérico posicional, siempre que estas entradas se completen con ceros iniciales de la misma longitud.

Operaciones aritméticas con números. El sistema de números posicionales le permite realizar fácilmente sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y divisiones con un resto de números, conociendo solo la tabla de suma de números de un dígito, y para las últimas tres operaciones también la tabla de multiplicar en el sistema correspondiente ( ver, por ejemplo, división por una columna ).

Economía

En la tecnología digital , el sistema numérico base se implementa mediante registros , que consisten en conjuntos de flip- flops , cada uno de los cuales puede adoptar diferentes estados que codifican los dígitos de un número. Al mismo tiempo, la economía del sistema numérico es de particular importancia : la capacidad de representar tantos números como sea posible utilizando el menor número posible de caracteres. [1] Si el número de disparadores es , entonces el número total de caracteres es y el número de números que representan, respectivamente, es . En función de , esta expresión alcanza su máximo en un número igual e = 2.718281828… . [3] Para valores enteros, el máximo se alcanza para . Así, el más económico es el sistema numérico ternario (utilizado en los ordenadores ternarios ), seguido del sistema binario (utilizado tradicionalmente en los ordenadores más comunes) y el cuaternario. $b$ $b$ $r$ $m=r\cdot b$ $b^r=b^{\frac{m}{b))$ $b$ $b$ $b$ $segundo = 3$

La eficiencia del sistema numérico es una circunstancia importante desde el punto de vista de su uso en una computadora. Por lo tanto, aunque el uso de un sistema ternario en lugar de uno binario en una computadora conlleva algunas dificultades de diseño (en este caso, es necesario usar elementos, cada uno de los cuales puede estar en no dos, sino tres estados estables), este sistema ya se ha utilizado [4] en algunos dispositivos informáticos de la vida real. [una]S. V. Fomin

Se puede obtener una descripción equivalente de la economía del sistema numérico utilizando el concepto de entropía de la información . Bajo la condición de equiprobabilidad de aparición de cada uno de los dígitos en el registro del número, la entropía de información del registro de un número de n bits en el sistema numérico con base b toma un valor (hasta un coeficiente constante ). Por lo tanto, la densidad de registro (es decir, la cantidad de información por bit) de números en el sistema numérico con base b es igual a , que también toma un valor máximo en b = e , y para valores enteros de b - en b = 3. $n\tfrac{\ln b}{b}$ $\tfrac{\ln b}{b}$

Cambiar a otra base

Convertir al sistema numérico decimal

Si un número entero en el sistema numérico -ario es igual a $b$

a_{n}\;a_{n-1}\ldots \;a_{1}\;a_{0},

luego para convertir al sistema decimal, calculamos la siguiente suma : [5]

\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b^{k}=a_{n}\cdot b^{n}+a_{n-1}\cdot b^{ n-1}+\ldots +a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0},

o como el diagrama de Horner :

((\ldots (a_{n}\cdot b+a_{n-1})\cdot b+a_{n-2})\ldots )\cdot b+a_{0}.

Por ejemplo:

{\begin{alignedat}{2}101100_{2}&=1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^ {2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=\\&=32+8+4=44.\\\end{alineado en}}

Acciones similares también tienen lugar para la parte fraccionaria : $0{,}011_{2}=0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0+0{,}25+ 0{,}125=0{,}375.$

Traducción decimal

Toda una parte

Secuencialmente ( iterativamente ) divida la parte entera del número decimal por la base con el resto hasta que el número decimal (privado) se convierta en cero.
Los residuos obtenidos al dividir son los dígitos del número deseado. El número en el nuevo sistema se escribe a partir del último resto. [5] [6]

Parte fraccional

Multiplicamos la parte fraccionaria del número decimal por la base del sistema al que se quiere traducir, y separamos la parte entera. Seguimos multiplicando la parte fraccionaria por la base del nuevo sistema y separamos la parte entera hasta que el número sea exactamente 0.
Los dígitos fraccionarios en el nuevo sistema numérico son las partes enteras obtenidas en el primer paso, que, decreciendo en antigüedad desde el dígito más significativo de la parte fraccionaria, van en el orden en que fueron y se recibieron.

nota _ A veces, al traducir un número racional fraccionario de un sistema decimal utilizando dichos algoritmos, se puede obtener una fracción periódica infinita: por ejemplo, . Para encontrar el período, debe realizar las iteraciones descritas en el primer párrafo y comprender si se encuentra la misma parte fraccionaria que hace varias iteraciones [7] . (Las fracciones regulares en diferentes sistemas numéricos se escriben a continuación ). ${\displaystyle 0{,}36=0{,}(2343)_{7))$

Ejemplos

$44_{10}$ Vamos a convertir a binario:

44 dividido por 2. cociente 22, resto 0 22 dividido por 2. cociente 11, resto 0 11 dividido por 2. cociente 5, resto 1 5 dividido por 2. cociente 2, resto 1 2 dividido por 2. cociente 1, resto 0 1 dividido por 2. cociente 0, resto 1

El cociente es cero: la división ha terminado. Ahora, escribiendo todos los residuos de abajo hacia arriba, obtenemos el número ${\ estilo de visualización 101100_ {2}.}$

Para la parte fraccionaria, el algoritmo se ve así:

Multiplica 0,625 por 2. La parte fraccionaria es 0,250. parte entera 1. Multiplica 0,250 por 2. La parte fraccionaria es 0,500. Parte entera 0. Multiplica 0,500 por 2. La parte fraccionaria es 0,000. parte entera 1.

De este modo, $0{,}625=0{,}101_{2}.$

Conversión de sistemas binarios a octales y hexadecimales

Existe un algoritmo simplificado para este tipo de operación. [ocho]

Parte entera

Para octal, dividimos el número traducido en un número de dígitos igual a la potencia de 2 (2 se eleva a la potencia que se requiere para obtener la base del sistema en el que desea traducir (2³ \u003d 8), en este caso 3, es decir, triadas). Transformemos las triadas según la tabla de triadas:

000 - 0; 100 - 4; 001 - 1; 101 - 5; 010 - 2; 110 - 6; 011 - 3; 111-7.

Para hexadecimal, dividimos el número traducido en un número de dígitos igual a la potencia de 2 (2 se eleva a la potencia que se requiere para obtener la base del sistema en el que desea traducir (2 4 \u003d 16), en este caso 4, es decir tétradas). Convirtamos las tétradas según la tabla de tétradas:

0000 - 0; 0100 - 4; 1000 - 8; 1100-C; 0001 - 1; 0101 - 5; 1001 - 9; 1101 - D; 0010 - 2; 0110 - 6; 1010-A; 1110 - E; 0011 - 3; 0111 - 7; 1011-B; 1111-F.

Ejemplo:

convertir 101100 2 octal - 101 100 → 54 8 hexadecimal - 0010 1100 → 2C 16 Parte fraccionaria

La conversión de la parte fraccionaria del sistema numérico binario a los sistemas numéricos con bases 8 y 16 se realiza exactamente de la misma forma que para las partes enteras del número, con la única excepción de que la descomposición en octavas y tétradas va a a la derecha del punto decimal, los dígitos que faltan se rellenan con ceros a la derecha. Por ejemplo, el número 1100.011 2 discutido anteriormente se vería como 14.3 8 o C.6 16 .

Conversión de sistemas octales y hexadecimales a sistemas binarios [8]

Para este tipo de operación, también existe un algoritmo simplificado, el inverso del algoritmo anterior .

Para octal, convertimos según la tabla en tripletes:

0 000 4 100 1001 5101 2010 6 110 3011 7111

Para hexadecimal, convertimos según la tabla en cuartetos:

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Ejemplo:

transformar 54 8 → 101 100 2 2C 16 → 0010 1100 2

Variaciones y generalizaciones

Escritura de números racionales

Un número racional en el sistema numérico -ario se representa como una combinación lineal (generalmente infinita) de las potencias del número : $X$ $b$ $b$

x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k= 1}^{\infty} c_k b^{-k}

donde - dígitos de la parte entera (antes del separador ), - dígitos de la parte fraccionaria (después del separador), - el número de dígitos de la parte entera. $Alaska}$ $c_{k}$ $norte$

Solo los números racionales que se pueden representar en la forma , donde y son números enteros, es decir, aquellos que, después de multiplicar por la base en un número finito de iteraciones, pueden obtener un número entero pueden tener una notación finita en el sistema numérico -ario : $b$ $\frac{q}{b^m}$ $metro$ $q$ $b$

\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{ n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},

donde y son entradas -arias, respectivamente , del cociente y resto de la división por . $(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b$ $(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b$ $b$ $q$ $b^m$

Los números racionales que no se pueden representar en la forma se escriben como fracciones periódicas . $\frac{q}{b^m}$

Sistemas numéricos simétricos

Los sistemas numéricos base simétricos (equilibrados, dígitos de signo) se diferencian en que no usan números del conjunto , sino del conjunto en el que, en términos generales, todos los números se "reflejan" en relación con cero. Para que los números sean enteros, debe ser impar. En los sistemas numéricos simétricos, no se requiere notación adicional para el signo del número. [9] Además, los cálculos en sistemas simétricos son convenientes porque no se requieren reglas especiales de redondeo : el redondeo al entero más cercano se reduce a simplemente descartar bits adicionales, lo que reduce drásticamente los errores sistemáticos en los cálculos. $b$ $\{0,1,\ldots,b-1\}$ $\left\{0-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),1-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),\ ldots ,(b-1)-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right)\right\},$ $b$ $b$

El más utilizado es el sistema numérico ternario numeral simétrico . Se utiliza en lógica ternaria y fue técnicamente implementado en la computadora Setun . ${\ estilo de visualización \ {-1,0,1 \))$

Bases negativas

Hay sistemas posicionales con bases negativas llamados no posicionales :

−2 - sistema numérico no binario ;
−3 — sistema numérico negativo-ternario;
−10 — sistema numérico negativo-decimal.

Bases no enteras

A veces también se consideran sistemas numéricos posicionales con bases no enteras: racional , irracional , trascendental .

Ejemplos de tales sistemas numéricos son:

con b = ⅓ - un sistema numérico con una base fraccionaria racional, le permite realizar operaciones de multiplicación y división por números enteros en registros de desplazamiento inverso ternario ,
para b = ½ - sistema numérico con base fraccionaria racional ,
con b = φ = 1,61… - Sistema de numeración de Bergman con base irracional igual a la " sección áurea ". [diez]

Bases complejas

Las bases de los sistemas numéricos posicionales también pueden ser números complejos [11] [12] . Al mismo tiempo, los números en ellos toman valores de algún conjunto finito que cumple las condiciones que le permiten realizar operaciones aritméticas directamente con las representaciones de números en estos sistemas numéricos.

En particular, entre los sistemas de números posicionales con bases complejas, se pueden distinguir los binarios, en los que solo se utilizan dos dígitos 0 y 1.

Ejemplos

A continuación, escribiremos el sistema numérico posicional de la siguiente forma , donde es la base del sistema numérico, y A es el conjunto de dígitos. En particular, el conjunto A puede verse como: $\rangle \rho,A \rangle$ $\rho$

$B_R = \{ 0, 1, 2,\ puntos, R-1 \},$
$D_R = \{-r_1,-r_1+1,\puntos, -1,0,1,\puntos,r_2-1,r_2 \},$ donde y . Cuando , el conjunto se convierte en conjunto . $r_1, r_2\geq 0$ $R=r_1+r_2+1$ $r_1=0$ $DR$ $B_R$

Ejemplos de sistemas numéricos con bases complejas son (en adelante j - unidad imaginaria ):

$\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.$ [12]
- Ejemplo: $\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;$
$\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.$ [once]
- Ejemplo: $\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;$
$\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;$ [13]
$\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,$ donde , es un entero positivo que puede tomar varios valores para una R dada ; [catorce] $\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}$ $\beta<\min\{R, 2\sqrt{R}\}$
$\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,$ donde el conjunto consta de números complejos de la forma , y números Por ejemplo: [13] $A_R^2$ $r_m=\alfa_m^1 + j\alfa_m^2$ $\alpha_m \en B_R.$ $\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;$
$\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,$ donde _ [quince] $\rho_2=\begin{casos}(-2)^{1/2} & \mbox{si}\ m\ \mbox{par},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{si}\ m\ \mbox{impar}.\end{casos}$

Sistemas de números complejos binarios

Las siguientes son las bases de los sistemas numéricos posicionales binarios y las representaciones de los números 2, −2 y −1 en ellos:

$\rho=2$ : (sistema numérico con base natural); $2=(10)_{\ro}$
$\rho=-2$ : , , (sistema numérico no posicional); $2=(110)_{\ro}$ $-2=(10)_{\rho}$ $-1=11_{\rho}$
$\rho=-\rho_2$ : , , (sistema numérico con base compleja); $2=(10100)_{\rho}$ $-2=(100)_{\rho}$ $-1=101_{\rho}$
$\rho=j\sqrt{2}$ : , , (sistema numérico con base compleja); $2=(10100)_{\rho}$ $-2=(100)_{\rho}$ $-1=(101)_{\rho}$
$\rho=-1+j$ : , , (sistema numérico con base compleja); $2=(1100)_{\rho}$ $-2=(11100)_{\rho}$ $-1=(11101)_{\rho}$
$\rho ={\frac {-1+j{\sqrt {7}}}{2}}$ : , , (sistema numérico con base compleja). $2=(1010)_{\rho}$ $-2=(110)_{\rho}$ $-1=(111)_{\rho}$

Sistemas numéricos no exponenciales

Los sistemas numéricos exponenciales son un caso especial de los sistemas numéricos posicionales con dependencia exponencial . En lugar de dependencia exponencial, puede haber otras dependencias. Por ejemplo, el sistema numérico posicional del hiperoperador

{\operatorname{hiper4} (a, b) = \operatorname{hiper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ )) \quad { \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a))))} \atop {b\mbox{ veces))} \quad {=a\to b\to 2 \atop {\ } }

le permite escribir rangos más grandes de números con la misma cantidad de caracteres.

Notas

↑ 1 2 3 4 S. V. Fomin . Sistemas numéricos . — M .: Nauka, 1987. — 48 p. - ( Clases populares de matemáticas ). ( enlace alternativo Archivado el 2 de junio de 2013 en Wayback Machine )
↑ Bityukov Serguéi. 13 sonidos e intervalos. Su percepción y designación. Trastes de desviación y modulación (ruso) ? . Habr (7 de agosto de 2021). Consultado el 26 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 12 de agosto de 2021. (indefinido)
↑ Hayes, Brian. Tercera base (inglés) // Científico estadounidense :revista. - 2001. - vol. 89 , núm. 6 _ - Pág. 490-494 . doi : 10.1511 / 2001.40.3268 .
↑ Ver Computadora ternaria .
↑ 1 2 Conversión de números de un sistema numérico a otro en línea . matworld.ru . Consultado el 8 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Capítulo 4: Fundamentos aritméticos de las computadoras . mif.vspu.ru. _ Consultado el 8 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 19 de febrero de 2020. (indefinido)
↑ Traducción de números fraccionarios de un sistema numérico a otro - lección. Informática, grado 11. . www.yaklass.ru_ _ Consultado el 8 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 8 de mayo de 2021. (Ruso)
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↑ S. B. Gashkov. Sistemas numéricos y sus aplicaciones . - 2004. - 52 págs. - ( Biblioteca "Educación Matemática" ). — ISBN 5-94057-146-8 . Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 8 de marzo de 2008. Archivado desde el original el 12 de enero de 2014. (indefinido)
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Enlaces

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diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)