El teorema de Earnshaw

El teorema de Earnshaw es un teorema sobre el campo electrostático , formulado en el siglo XIX por el físico inglés Earnshaw en 1842 [1] .

Es una consecuencia del teorema de Gauss .

El teorema de Earnshaw es un teorema puramente clásico (no cuántico) y no tiene un análogo cuántico .

Redacción

Cualquier configuración de equilibrio de cargas puntuales es inestable si no actúan sobre ellas otras fuerzas, excepto las fuerzas de atracción y repulsión de Coulomb .

Se entiende que las cargas puntuales son “impenetrables”, es decir, no pueden ocupar una posición coincidente en el espacio (es decir, se entiende que en este caso, antes de que las cargas puntuales tomen tal posición, fuerzas de naturaleza no coulombiana comienzan a actuar entre ellos, por ejemplo, las fuerzas elásticas de las superficies -si consideramos una carga puntual como caso límite de un cuerpo pequeño de dimensiones finitas [2] ); en otras palabras, los casos obvios de equilibrio con cargas positivas y negativas que coinciden en posición espacial están excluidos de la consideración por la condición del teorema. Esto puede estar motivado de una manera alternativa a la "impenetrabilidad" por el hecho de que tales casos son triviales y, por lo tanto, no interesantes, y también físicamente dudosos (implican energía de interacción infinita de cargas en tal posición).
Los campos electrostáticos "externos" (creados por fuentes fijas) se pueden agregar a la formulación del teorema.
El teorema en sí no establece que el equilibrio sea posible en absoluto. Sin embargo, no es difícil encontrar ejemplos que muestren que pueden existir configuraciones estacionarias inestables de cargas puntuales. Aquí, se entiende por inestabilidad que cualquier pequeña desviación de la configuración estacionaria conduce a un aumento de la inestabilidad y al colapso de la configuración del sistema.

Prueba

Hay dos versiones de la prueba, que son completamente equivalentes en el marco de la electrostática y, en principio, se basan en la misma idea física (matemática), expresada en términos ligeramente diferentes .

El primero se implementa en términos de la intensidad de campo y se basa en el teorema de Gauss , el segundo en términos de potencial y se basa en la ecuación de Laplace (o Poisson ) .

La ventaja del primer método es que es aplicable no solo para el caso de campos potenciales , es decir, no requiere que la intensidad de campo se exprese completamente a través de un potencial escalar . En este caso basta con que cumpla la ley de Gauss [3] .

La demostración en términos de potencial es un poco más simple y geométricamente clara.

Prueba en términos de intensidad de campo

Considere una carga puntual positiva. La fuerza que actúa sobre él está dirigida a lo largo del vector del campo electrostático. Para un equilibrio estable en cualquier punto del espacio, es necesario que, con una (pequeña) desviación de él, comience a actuar sobre él una fuerza restauradora. Es decir, en el caso de la electrostática, para que exista tal punto, es necesario que en una pequeña vecindad de este punto el vector de campo creado por todas las demás cargas esté dirigido hacia él (en su dirección). Es decir, las líneas de campo deben converger a tal punto, si existe. Esto significa (debido al teorema de Gauss ) que también debe contener una carga negativa. Pero tal variante de equilibrio no satisface la condición del teorema (por ejemplo, si consideramos cargas puntuales como bolas sólidas muy pequeñas, antes de alcanzar la posición de equilibrio descrita, chocarán con superficies, es decir, en equilibrio real no serán fuerzas de naturaleza no electrostática, si las consideramos como puntos matemáticos, esta solución contendrá una energía de interacción infinita, lo cual no es físicamente aceptable, y si la consideramos desde un punto de vista ligeramente diferente, esto está más allá de la aplicabilidad de la electrostática clásica).

Desde el punto de vista del teorema de Gauss, la aparición de una fuerza restauradora (dirigida desde todos los lados hacia un punto determinado) significa que el vector de la intensidad de las fuerzas externas crea un flujo negativo a través de una pequeña superficie que rodea el punto de la supuesta equilibrio. Pero el teorema de Gauss establece que el flujo de fuerzas externas a través de la superficie es cero si no hay carga dentro de esta superficie [4] . Obtenemos una contradicción.

En el caso de una carga negativa, la consideración es completamente análoga.

Prueba en términos de potencial

Consideremos una de las cargas puntuales en el campo de las otras y mostremos que, si está en equilibrio, lo está sólo en uno inestable. (A este cargo lo llamaremos distinguido).

Supongamos que la carga liberada está en equilibrio (el caso contrario no es interesante).

El potencial creado por el resto de cargas en la vecindad de nuestra seleccionada obedece a la ecuación de Laplace (a menos que una de estas otras cargas coincida en posición con la posición de la carga seleccionada, lo cual queda excluido por la formulación del teorema [5] ), ya que este es un campo electrostático, y en esta zona el espacio carece de sus fuentes (otras cargas).

Ecuación de Laplace:

{\frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial y^{2))}+{\ frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial z^{2))}=0

tiene como consecuencia el enunciado:

o una segunda derivada del potencial con respecto a algunas de las coordenadas - o (es decir, uno de los tres términos del lado izquierdo) es menor que cero, $\fi$ $x, y$ $z$
o las tres derivadas son iguales a cero.

En el primer caso, es obvio que el potencial no tiene mínimo en un punto dado, lo que significa que la energía potencial de la carga en cuestión no lo tiene en ese punto, es decir, su equilibrio es inestable.

El segundo caso se divide en dos opciones:

1. Si las tres segundas derivadas del potencial son iguales a cero no solo en el punto, sino también en su vecindad finita (y las primeras derivadas en el punto mismo son iguales a cero por el supuesto de equilibrio), entonces el potencial en esta vecindad es una constante y obviamente tenemos el caso de equilibrio indiferente, es decir, no es un equilibrio estable. Se puede demostrar que para el caso de un número finito de fuentes puntuales, esta variante no se realiza en absoluto. [6]

2. Si las tres segundas derivadas del potencial son iguales a cero solo en un solo punto (el llamado punto de aplanamiento ), entonces se puede demostrar que [7] :

el punto considerado todavía no es un punto extremo;
este caso en sí no se puede realizar para ninguna de las cargas elegidas, por ejemplo, no se realiza para las cargas extremas, para las cuales las segundas derivadas del potencial son siempre distintas de cero [8] .

Por lo tanto, la demostración anterior es bastante completa para el primer caso (el caso en posición general) y solo describe las preguntas que surgen en algunos casos especiales y las respuestas a las mismas.

La forma más sencilla de responder a estas preguntas es utilizar un enfoque basado en el teorema de Gauss.

Generalizaciones

Será trivial notar que el teorema es cierto no solo para la electrostática, sino también para el campo de cualquier fuerza descrita como decreciente como la ley de Coulomb [9] (por ejemplo, para las fuerzas gravitatorias newtonianas [10] ).
El teorema también es válido para la magnetostática en el caso de corrientes y dipolos fijos (en presencia de momentos magnéticos inducidos, puede violarse; consulte el ejemplo a continuación). La clave de la prueba aquí es el teorema de Gauss para el campo magnético . En principio, la demostración de la magnetostática se puede reducir al caso electrostático utilizando los Teoremas de la hoja magnética de Ampère , pero luego se requiere usar la formulación electrostática del teorema no para partículas puntuales, sino para sólidos extensos (ver el siguiente párrafo).
El teorema es verdadero (en este caso, la formulación debe modificarse ligeramente [11] ) para sistemas rígidos de cargas puntuales y cuerpos sólidos (absolutamente sólidos) cargados fijos [12] (impenetrables entre sí, en algunos de los sentidos similares a las indicadas en la formulación para cargas puntuales, es decir, al menos las regiones cargadas de los sólidos). La idea de la prueba es considerar pequeños desplazamientos de traslación de un cuerpo rígido (sin rotaciones). Entonces la energía potencial [13] de un sistema rígido de cargas es simplemente la suma de cada carga multiplicada por el potencial en su vecindad, tomado cada vez en un punto debido al desplazamiento total del cuerpo:

U(\delta \mathbf {R} )=\Sigma_{i}q_{i}\phi (\mathbf {r}_{i}+\delta \mathbf {R} ),

donde es el vector del desplazamiento total del cuerpo, por ejemplo, el desplazamiento de su centro de masa.

\delta {\mathbf R}

Dado que el potencial en la vecindad de cada punto satisface la ecuación de Laplace (se entiende que las cargas de otro cuerpo están ausentes en una proximidad infinita a la carga del dado debido a su impermeabilidad), entonces su combinación lineal (suma con coeficientes) también lo satisface, es decir, también satisface la ecuación de Laplace [14] , lo que significa que no puede tener un mínimo. $\phi ({\mathbf r}_{i}+\delta {\mathbf R})$ $U(\delta {\mathbf R})$

Aparentemente, el teorema también es cierto para el caso de conexiones de carga elásticas, en el sentido de la ley de Hooke .
El teorema es cierto para el caso de momentos dipolares inducidos (en electrostática y magnetostática) siempre que el coeficiente de polarizabilidad para dipolos inducidos sea positivo.
El teorema no es cierto para el caso de dipolos inducidos por un campo externo con polarizabilidad negativa. Aparentemente, tal caso no se realiza de forma natural para los dipolos eléctricos (el caso del control artificial del momento dipolar no se menciona aquí, se considera a continuación).

Sin embargo, para los dipolos magnéticos inducidos, el caso de polarizabilidad negativa ocurre con bastante frecuencia, por ejemplo, para cuerpos diamagnéticos o superconductores , para los cuales, por lo tanto, la generalización del teorema de Earnshaw no se cumple , es decir, para ellos es bastante posible un equilibrio estable. ( W. Braunbeck , 1939 ) [15] .

Es bastante obvio que el teorema de Earnshaw no es aplicable al caso de sólidos mutuamente permeables. Por ejemplo, en la interacción de dos bolas uniformemente cargadas (cargas del mismo signo, igual o diferente en magnitud) (del mismo o diferente diámetro, incluso en lugar de una de las bolas, puede tomar una carga puntual), hay habrá un equilibrio estable en una posición donde sus centros coincidan. Es cierto que el valor práctico de un modelo teórico como el de los sólidos mutuamente permeables no está muy claro.

Límites de aplicabilidad

Límites teórico-fundamentales de aplicabilidad del teorema

El teorema de Earnshaw como tal (y como se describe en este artículo) es un teorema puramente clásico (no cuántico). Esto determina el límite fundamental principal de su área de aplicación.

Además, aunque en algunos casos particulares es posible formular un cierto análogo cuántico de él, sin embargo, hablando en general, y en muchos casos clave y fundamentales específicos, tal generalización es imposible (a menos, por supuesto, que el teorema con el opuesto declaración se considera una generalización).

En pocas palabras, el punto es que en el caso cuántico (es decir, cuando es imposible limitarnos a la aproximación clásica), en general, no hay impenetrabilidad mutua (por ejemplo, un electrón y un protón bien pueden ocupar el mismo lugar, se atraviesan e incluso se "ignoran" en este caso, con la excepción de la interacción electromagnética [16] Además, el concepto mismo de una partícula puntual clásica en el caso cuántico, es decir, por ejemplo, si consideramos el equilibrio de un protón con un electrón, entonces, en una escala espacial del orden de un diámetro atómico, el concepto mismo de partícula puntual desaparece [17] .

De todo esto se sigue un cambio radical en la situación con la posibilidad de un equilibrio estable de partículas cargadas en el caso cuántico.

En esencia, podemos decir que el átomo de hidrógeno es el equilibrio estable del protón y el electrón, interactuando solo electrostáticamente [18] .

Aspecto aplicado

En ingeniería, el teorema de Irnshaw está asociado con ciertas restricciones para resolver el problema de ingeniería de la contención (o suspensión) estable de un determinado cuerpo utilizando campos (eléctricos, magnéticos, a menudo en combinación con un campo de gravedad natural), es decir, sin contacto directo con estructuras de contención sólidas y generalmente materiales.

Sin embargo, estas restricciones se pueden eludir.

Los principales métodos utilizados para esto son:

El uso de un campo magnético y un cuerpo con una susceptibilidad magnética negativa (diamagnet) o un superconductor - un diamagnet ideal. En este caso, es posible lograr la estabilidad natural sin el uso de campos adicionales (y sin costos de energía). Es suficiente elegir correctamente la configuración de las fuentes de campo y la forma del cuerpo diamagnético.
Uso de fuerzas no potenciales adicionales. Un ejemplo de un dispositivo interesante es levitron , que utiliza una parte superior giratoria para la levitación . En este caso, el imán en forma de trompo se encuentra en un pozo de potencial y el efecto del giroscopio se utiliza para superar la inestabilidad de la inclinación.
Utilización de sistemas de control automático del campo de sujeción y/o parámetros eléctricos o magnéticos (carga, momento dipolar eléctrico o magnético , etc.) del cuerpo sujetado.

Aplicación

Históricamente, el teorema de Earnshaw desempeñó un papel importante en la teoría de la estructura del átomo: las suposiciones sobre el átomo como un sistema de cargas estáticas se rechazaron sobre su base y se introdujo el modelo planetario del átomo para explicar la estabilidad del átomo. . Sin embargo, ver más arriba .

Ha aplicado valor en tecnología ( ver arriba ).

Notas

↑ Earnshaw, Samuel (1842). Sobre la naturaleza de las fuerzas moleculares que regulan la constitución del éter luminífero. Trans. Camb. Fil. soc. 7: págs. 97-112.
↑ Cabe señalar que si consideramos las cargas puntuales como el caso límite de cuerpos sólidos, pero absolutamente permeables entre sí, tal equilibrio con neutralización (parcial) resulta posible, sin embargo, tal modelo de carga puntual es rechazado al formular el teorema como físicamente poco realista (y en cualquier caso dará infinitas energías de interacción para el punto límite).
↑ Por ejemplo, tal prueba sigue siendo válida cuando se agrega un campo eléctrico de vórtice externo a los campos electrostáticos (lo que puede ocurrir en electrodinámica, incluso sin cambiar durante un cierto período de tiempo).
↑ No nos referimos a la carga cuyo equilibrio estamos considerando, sino a algunas de las otras cargas que crean un campo en el que se considera el equilibrio de esta carga.
↑ Para una discusión de todas las reservas, vea el párrafo de redacción .
↑ Sin embargo, para generalizar el teorema al caso de sólidos con una distribución de carga continua, el caso de equilibrio indiferente ocurre con bastante frecuencia (ver Generalizaciones ). Sin embargo, si consideramos el caso de un sistema de cargas puntuales sin enlaces superpuestos, suponiendo un número infinito de ellas e incluso una distribución continua de cargas, entonces algunas de las cargas pueden estar en equilibrio indiferente (por ejemplo, una carga puntual discreta en el centro de una esfera cargada hueca, pero el equilibrio de otras cargas (extremo) no puede ser indiferente (aquí no lo demostramos).
↑ La prueba de ambos no se da aquí. En principio, tener en cuenta estas características sutiles viola de alguna manera la simplicidad del enfoque que utiliza el potencial de una demostración rigurosa. Aunque a “nivel físico de rigor” es ciertamente claro y sencillo.
↑ Al menos en la versión del teorema con un número finito de cargas discretas. Para la variante con la suposición de distribuciones continuas (un número infinito) de cargas, esta declaración debe refinarse aún más.
↑ Dado que la aplicación del teorema de Earnshaw a la gravedad (si no se considera la antigravedad) no tiene interés, véase la siguiente nota, entonces, entre las fuerzas fundamentales conocidas, simplemente no hay candidatas para su aplicación excepto las eléctricas y magnéticas. Sin embargo, se puede aplicar en todos los casos en los que dichas fuerzas se introducen de forma puramente teórica, así como en los casos en que aparecen fuerzas similares a las de Coulomb en alguna teoría fenomenológica (por ejemplo, en hidrodinámica).
↑ Un ejemplo de gravedad newtoniana, aunque formalmente completamente correcto, no es muy significativo. El hecho es que no solo en Newton, sino también en cualquier otra teoría de la gravedad, si implica solo atracción, el hecho de que no hay equilibrio (estático) más que la colisión de objetos que se atraen es completamente obvio sin el teorema de Earnshaw.
↑ La inestabilidad estricta del teorema original debe ser reemplazada por una no estricta, es decir, el caso de equilibrio indiferente se vuelve aceptable (y en principio no demasiado raro).
↑ Aquí consideramos el caso cuando las cargas no son esenciales, puntuales o distribuidas, rígidamente fijadas en el volumen o en la superficie de los sólidos (o, de una forma u otra, conectadas por enlaces rígidos).
↑ También puedes considerar una variante de la demostración en términos de fuerzas e intensidad de campo, como se hizo en la demostración del teorema principal del artículo, y no en términos de energía potencial y potencial, que serían completamente equivalentes. Sin embargo, aquí, por brevedad y simplicidad, nos restringimos a la segunda opción.
↑ De hecho, en este punto el teorema de un cuerpo rígido se ha reducido a un teorema de cargas puntuales.
↑ Encyclopedia of Physics, artículo "Teorema de Earnshaw".
↑ Y en el contexto del estudio del equilibrio que estamos discutiendo, principalmente electrostático.
↑ O, si quieres, cambia más allá del reconocimiento. Incluso el término partícula puntual en sí mismo , como se suele utilizar en la física cuántica, significa, en esencia, completamente diferente al clásico, en general no será una exageración demasiado grande decir que el uso del término partícula puntual en el caso cuántico es puramente arbitrario y casi accidentalmente en consonancia con la comprensión clásica del término.
↑ Se podría argumentar (junto con los físicos de la época del nacimiento de la teoría cuántica) que este equilibrio no es completamente estático. De hecho, un electrón en un átomo de hidrógeno tiene energía cinética y el cuadrado de la cantidad de movimiento. Sin embargo, en mecánica cuántica, el electrón simplemente no puede detenerse por completo, al menos, para detenerse, tendría que ocupar todo el espacio infinito. Por lo tanto, podemos decir que el concepto de equilibrio estático en el caso cuántico desaparece por completo (se vuelve inaplicable) o queda por acordar que el átomo de hidrógeno en el estado fundamental (no excitado) es el equilibrio de un protón y un electrón como estático. como es generalmente posible en el caso cuántico.